放物線上の２点を通る直線
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2021.12.30____
【 問 題 】
y ＝ a x2 上の ２点 Ｐ( p, ap2 ) と Ｑ( q, aq2 ) を結ぶ直線の方程式を求めよ
【 解 答 】
求める直線の方程式を y ＝ m x ＋ n とする。
この直線と放物線 y ＝ a x2 の交点の x 座標を求めるには次の方程式を解けばいい。
a x2 ＝ m x ＋ n
つまり、
a x2 − m x − n ＝ 0
この方程式の解が p と q となるためには、上式は次の式と同等でなければならない。
a ( x−p ) ( x−q ) ＝ 0
つまり、
a x2 − a ( p＋q ) x ＋ apq ＝ 0
以上の２つの式が同等になるための必要十分条件は、次の２つの式が成り立つことである。
a ( p＋q ) ＝ m
apq ＝ −n
したがって、求める直線の方程式は次のようになる。
y ＝ a ( p＋q ) x − apq
【 別解法 】
２点 Ｐ(
P1, P2 ) と Ｑ(
Q1,
Q2 ) を結ぶ直線の方程式
を用いても、y ＝ a ( p＋q ) x − apq を得ることができます。