２次元ベクトル （ Ｌ，Ｍ ） に垂直で、 点 （ x_０， y_０ ） を通る直線の方程式 ：
　　　　　　Ｌ（ x − x_０ ） ＋ Ｍ （ y − y_０ ） ＝ ０
　　　　　　　　　　　∵　ベクトルの内積が０になるので
　　　２次元ベクトル （ Ｌ，Ｍ ） に平行で、 点（ x_０， y_０ ） を通る直線の方程式 ：
　　　　　　（ x − x _０ ）/ Ｌ ＝ （ y − y_０ ）/ Ｍ
　　　　　　　　　　　∵　x ＝ x_０＋ｋＬ　　y ＝ y_０＋ｋＭ
　　　３次元ベクトル （ Ｌ，Ｍ，Ｎ ） に垂直で、 点（ x_０， y_０， z_０ ） を通る平面の方程式 ：
　　　　　　Ｌ（ x − x_０ ） ＋　Ｍ （ y − y _０ ） ＋ Ｎ（ z − z_０ ） ＝ ０
　　　３次元ベクトル （ Ｌ，Ｍ，Ｎ ） に平行で、 点（ x_０， y_０， z_０ ）を通る平面の方程式 ：
　　　　　　（ x − x_０ ）/ Ｌ ＝ （ y − y_０ ）/ Ｍ ＝ （ z − z_０ ）/ Ｎ

以上をもっと簡単にすると、 次のようになります。

　　　２次元ベクトル （ Ｌ，Ｍ ） に垂直で、原点を通る直線の方程式 ：
　　　　　　Ｌ x ＋ Ｍ y ＝ ０
　　　２次元ベクトル （ Ｌ，Ｍ ） に平行で、 原点を通る直線の方程式 ：
　　　　　 x / Ｌ ＝ y / Ｍ
　　　３次元ベクトル （ Ｌ，Ｍ，Ｎ ） に垂直で、 原点を通る平面の方程式 ：
　　　　　　Ｌ x ＋ Ｍ y ＋ Ｎ z ＝ ０
　　　３次元ベクトル （ Ｌ，Ｍ，Ｎ ） に平行で、 原点を通る平面の方程式 ：
　　　　　　 x / Ｌ ＝ y / Ｍ ＝ z / Ｎ

以上を4次元空間まで拡張すると、 次のようになります。

　　　４次元ベクトル （ Ｌ，Ｍ，Ｎ，Ｑ ） に垂直で、 原点を通る空間の方程式 ：
　　　　　　Ｌ x ＋ Ｍ y ＋ Ｎ z ＋ Ｑｔ ＝ ０
　　　４次元ベクトル （ Ｌ，Ｍ，Ｎ，Ｑ ） に平行で、 原点を通る空間の方程式 ：
　　　　　　 x / Ｌ ＝ y / Ｍ ＝ z / Ｎ ＝ ｔ / Ｑ



全体集合を 「 ３次元空間の原点を始点とするベクトル 」 とします。
あるベクトルに垂直なベクトルの集合の要素は無数にありますが、 それらはすべて同一平面上に存在します。
それらを表すベクトル方程式は、 その平面の方程式になります。
　（ 例 ）
　　　３次元ベクトル　Ｒ(→)（ Ｌ，Ｍ，Ｎ ） に垂直で原点を通る平面上の点を Ｐ（ x， y， z ）とします。
　　　点Ｐの位置ベクトルを　Ｐ(→) とすると、 Ｒ(→) と Ｐ(→) の内積が０であることより、
　　　　　　Ｌ x ＋ Ｍ y ＋ Ｎ z ＝ ０


３次元ベクトル Ｒ(→)（ Ｌ，Ｍ，Ｎ ） と ３次元ベクトル Ｅ(→)（ ａ，ｂ，ｃ ） にそれぞれ垂直な直線の方程式　：
　　　その直線は、 Ｒ(→) と Ｅ(→) の外積に平行であるから、 Ｒ(→) と Ｅ(→) の外積をまず求めます。
　　　 Ｒ(→) に対して Ｅ(→) を外積させます。
　　　　　　　　０　　ｃ　−ｂ　　　　Ｌ
　　　　　　　−ｃ　　０　　ａ　　　　Ｍ
　　　　　　　　ｂ　−ａ　　０　　　　Ｎ
　　　こうして、 （ ｃＭ−ｂＮ， ａＮ−ｃＬ， ｂＬ−ａＭ ） が得られます。
　　　したがって、 求める直線の方程式は次のようになります。
　　　　　　 x /（ ｃＭ−ｂＮ ） ＝ y /（ ａＮ−ｃＬ ） ＝ z /（ ｂＬ−ａＭ ）