【 問 題 １ 】

将棋の「名人戦」は７番勝負です。先に４勝した方が名人になります。
対戦する２人の棋士の実力は同じであるとします。
次の確率をそれぞれ求めなさい。
　　（１） 第４戦が終了した時点で名人が決まる確率
　　（２） 第５戦が終了した時点で名人が決まる確率
　　（３） 第６戦が終了した時点で名人が決まる確率
　　（４） 第７戦が終了した時点で名人が決まる確率

【 解 答 】

（１）
2 × ( 1/2 )⁴ ＝→ 1/8


（２）
第４戦が終了した時点で３勝１敗になる確率：
　　₄C₁ × ( 1/2 )⁴ ＝→ 1/4
したがって、求める確率は、
　　2 × 1/4 × 1/2 ＝→ 1/4
　　　　　※ 最初の 2 は２人の 2 で、最後の 1/2 は第５戦に勝つ確率


（３）
第５戦が終了した時点で３勝２敗になる確率：
　　₅C₂ × ( 1/2 )⁵ ＝→ 10 × 1/32 ＝→ 5/16
したがって、求める確率は、
　　2 × 5/16 × 1/2 ＝→ 5/16


（４）
第６戦が終了した時点で３勝３敗になる確率：
　　₆C₃ × ( 1/2 )⁶ ＝→ 20 × 1/64 ＝→ 5/16
したがって、求める確率は、
　　2 × 5/16 × 1/2 ＝→ 5/16


以上（１）から（４）の確率の総和は 1 となっている。

【 問 題 ２ 】

同じ実力の２人の７番勝負です。
次の確率をそれぞれ求めなさい。
　　（１） 第３戦が終わった時点で３連勝した人が７番勝負を制する確率
　　（２） 第２戦が終わった時点で２連勝した人が７番勝負を制する確率
　　（３） 先に１勝した人が７勝負を制する確率

【 解 答 】

（１）
1 − ( 1/2 )⁴ ＝→ 15/16


（２）
その人が７番勝負に負ける確率：
　　第６戦が終わった直後に７番勝負に負ける確率 ＝ ( 1/2 )⁴ ＝→ 1/16
　　第７戦が終わった直後に７番勝負に負ける確率：
　　　　第６戦が終わった段階で ３勝３敗 となっている確率 ＝ ₄C₁ × ( 1/2 )⁴ ＝→ 1/4
　　　　したがって、その確率は、1/4 × 1/2 ＝→ 1/8
したがって、求める確率は、
　　1 − ( 1/16 ＋ 1/8 ) ＝→ 13/16


（３）
その人が７勝負に負ける確率：
　　第５戦が終わった直後に７番勝負に負ける確率 ＝ ( 1/2 )⁴ ＝→ 1/16
　　第６戦が終わった直後に７番勝負に負ける確率：
　　　　第５戦が終わった段階で ２勝３敗 となっている確率 ＝ ₄C₁ × ( 1/2 )⁴ ＝→ 1/8
　　　　したがって、その確率は、1/8 × 1/2 ＝→ 1/4
　　第７戦が終わった直後に７番勝負に負ける確率：
　　　　第６戦が終わった段階で ３勝３敗 となっている確率 ＝ ₅C₂ × ( 1/2 )⁵ ＝→ 10 × 1/32 ＝→ 5/16
　　　　したがって、その確率は、5/16 × 1/2 ＝→ 5/32
したがって、求める確率は、
　　1 − ( 1/16 ＋ 1/4 ＋ 5/32 ) ＝→ 17/32

【 問 題 ３ 】

同じ実力の２人の７番勝負です。
次の確率をそれぞれ求めなさい。
　　（１） ７番勝負を制した者が第７戦で勝っていた確率
　　（２） ７番勝負を制した者が第６戦で勝っていた確率
　　（３） ７番勝負を制した者が第５戦で勝っていた確率

【 解 答 】

（１）
第６戦が終わった直後に３勝３敗であった確率と同じであるから、
　　₆C₃ × ( 1/2 )6 ＝→ 20 × 1/64 ＝→ 5/16


（２）
第５戦が終了した時点で３勝２敗であった場合の確率：
　　₅C₂ × ( 1/2 )⁵ × 1/2 ＝→ 10 × ( 1/2 )⁶ ＝→ 5/32
第５戦が終了した時点で２勝３敗であった場合の確率：
　　₅C₂ × ( 1/2 )⁵ × ( 1/2 )² ＝→ 10 × ( 1/2 )⁷ ＝→ 5/64
したがって、求める確率は、
　　5/32 ＋ 5/64 ＝→ 15/64


（３）
第４戦が終了した時点で３勝１敗であった場合の確率：
　　₄C₁ × ( 1/2 )⁴ × 1/2 ＝→ 4 × ( 1/2 )⁵ ＝→ 1/8
第４戦が終了した時点で２勝２敗であった場合の確率：
　　₄C₂ × ( 1/2 )⁴ × 1/2 × ( 1/2 ＋ (1/2)² ) ＝→ 6 × ( 1/2 )⁵ × 3/4 ＝→ 9/64
第４戦が終了した時点で１勝３敗であった場合の確率：
　　₄C₃ × ( 1/2 )⁴ × ( 1/2 )² ＝→ 4 × ( 1/2 )⁶ ＝→ 1/32
したがって、求める確率は、
　　1/8 ＋ 9/64 ＋ 1/32 ＝→ 19/64

【 問 題 ４ 】

同じ実力の２人の７番勝負です。
次の確率をそれぞれ求めなさい。
　　（１） ７番勝負を制し かつ 第６戦を戦った者 が 第６戦で勝っていた 確率
　　（２） ７番勝負を制し かつ 第５戦を戦った者 が 第５戦で勝っていた 確率

【 解 答 】

（１）
７番勝負を制した者が第６戦で勝っていた確率 ＝ 15/64　（ 問題３の（２）より ）
７番勝負を制した者が第６戦で負けていた確率：
　　第５戦が終了した時点で３勝２敗であり、かつ、第７戦で勝っていた確率と同じなので、
　　　　₅C₂ × ( 1/2 )⁵ × (1/2)² ＝→ 10 × ( 1/2 )⁷ ＝→ 5/64
したがって、求める確率は、
　　15/64 ÷ ( 15/64 ＋ 5/64 ) ＝→ 15/64 ÷ 20/64 ＝→ 3/4


（２）
７番勝負を制した者が第５戦で勝っていた確率 ＝ 19/64　（ 問題３の（３）より ）
７番勝負を制した者が第５戦で負けていた確率：
　　第４戦が終了した時点で３勝１敗である場合の確率：
　　　　₄C₁ × ( 1/2 )⁴ × 1/2 × ( 1/2 ＋ (1/2)² ) ＝→ 4 × ( 1/2 )⁵ × 3/4 ＝→ 3/32
　　第４戦が終了した時点で２勝２敗である場合の確率：
　　　　₄C₂ × ( 1/2 )⁴ × 1/2 × (1/2)² ) ＝→ 6 × ( 1/2 )⁷ ＝→ 3/64
　　したがって、その確率は、
　　　　3/32 ＋ 3/64 ＝→ 9/64
したがって、求める確率は、
　　19/64 ÷ ( 19/64 ＋ 9/64 ) ＝→ 19/64 ÷ 28/64 ＝→ 19/28