【 問 題 】

　１セットのトランプカードの中から４種類の １ 〜 ３ がすべて抽出された12枚のトランプカードたちの中には、 ダイヤのカードが３枚だけ入っています。 この12枚のカードの中から無作為に６枚を抽出します。ただし、カードは伏せたままにしてください。 次に、 この６枚のカードの中から無作為に３枚を抽出します。 すると、 ダイヤのカードが１枚だけ含まれていました。 ではここで問題です。 最初に抽出された６枚の中にはダイヤのカードが何枚含まれていたと推定できますか？　その期待値とも言える数を答えてほしいので、 答えは自然数でなくてもОKです。

　【 誤 解 答 】

　抽出標本におけるダイヤのカードの存在率は ３分の１ なので ６枚のカードの中の ３分の１ がダイヤのカードであっただろうと推定できますので、 答えは ２枚 です。
　「４種類のトランプのカードが１万枚ずつあります。無作為に６枚のカードを抽出しました。抽出したカードの中からさらに３枚を抽出するとそのうち１枚がダイヤでした。最初に抽出された６枚の中にはダイヤのカードが何枚含まれていたか推定しなさい。」という問題であれば正解なのですが。

　【 解 答 】

　※ 参照：　大学生のための数学 ＞ 確率 ＞ 当たる回数ごとの確率

　無作為にカードを横一列に並べ、左半分の６枚を抽出したカードと見なします。カードはダイアか非ダイアか以外は無個性とします。12枚のカードを横一列に並べる全ての場合の数は ₁₂Ｃ₃ とおり です。
　抽出した６枚のカードにダイアが１枚だけ入っている場合の数は ₆Ｃ₁ × ₆Ｃ₂ とおり、抽出した6枚のカードにダイアが２枚入っている場合の数は ₆Ｃ₂ × ₆Ｃ₁ とおり、抽出した６枚のカードにダイアが３枚入っている場合の数は ₆Ｃ₃ × ₆Ｃ₀ とおりです。
　抽出した６枚のカード ( ダイアが n 枚含まれているとする ) からさらに３枚のカードを抽出する全ての場合の数は ₆Ｃ_n とおり です。

まず、最終的に抽出した３枚のカードにダイアが１枚だけ入っている確率を求めます。

�@　抽出した６枚のカードにダイアが１枚だけ入っている上に、それからさらに３枚のカードを抽出したときにダイアが１枚だけ含まれている確率：
　　　{(₆Ｃ₁×₆Ｃ₂) ÷ ₁₂Ｃ₃ } × {(₃Ｃ₁×₃Ｃ₀) ÷ ₆Ｃ₁ }
　　　　　　　＝→　( 6×15÷220 ) × ( 3×1÷6 )　＝→　9/22 × 1/2　

�A　抽出した６枚のカードにダイアが２枚入っている上に、それからさらに３枚のカードを抽出したときにダイアが１枚だけ含まれている確率：
　　　{(₆Ｃ₂×₆Ｃ₁) ÷ ₁₂Ｃ₃ } × {(₃Ｃ₁×₃Ｃ₁) ÷ ₆Ｃ₂ }
　　　　　　　＝→　( 15×5÷220 ) × ( 3×3÷15 )　＝→　9/22 × 3/5　
　　　　　　　＝→　　＝→　15×6÷220　＝→　9/22　

�B　抽出した６枚のカードにダイアが３枚入っている上に、それからさらに３枚のカードを抽出したときにダイアが１枚だけ含まれている確率は
　　　{(₆Ｃ₃×₆Ｃ₀) ÷ ₁₂Ｃ₃ } × {(₃Ｃ₁×₃Ｃ₂) ÷ ₆Ｃ₃ }
　　　　　　　＝→　( 20×1÷220 ) × ( 3×3÷20 )　＝→　1/11 × 9/20　
　　　　　　　＝→　　＝→　20×1÷220　＝→　1/11　


　したがって、最終的に抽出した３枚のカードにダイアが１枚だけ入っている確率は、�@＋�A＋�B ＝→ 45/220 ＋ 54/220 ＋ 9/220 ＝→ 108/220

　最終的に抽出した３枚のカードにダイアが１枚だけ入っていることを知ったという条件下にて、抽出した６枚のカードにダイアが１枚だけ入っている確率は、 45/220 ÷ 108/220　＝→　5/12

　最終的に抽出した３枚のカードにダイアが１枚だけ入っていることを知ったという条件下にて、抽出した６枚のカードにダイアが２枚入っている確率は、 54/220 ÷ 108/220　＝→　1/2

　最終的に抽出した３枚のカードにダイアが１枚だけ入っていることを知ったという条件下にて、抽出した６枚のカードにダイアが３枚入っている確率は、 9/220 ÷ 108/220　＝→　1/12

　したがって、求める答えというか期待値は、次のようになる。
　　　　１枚 × 5/12 ＋ ２枚 × 1/2 ＋ ３枚 × 1/12　＝→　5/3 枚

※ こういった、 条件付き確率を用いた推定法は 「 ベイズ推定 」 と言われます。

※ 参照：
　　　大学生のための数学 ＞ 確率 ＞ 条件付き確率の本質と解法
　　　大学生のための数学 ＞ 確率 ＞ 情報後原因確率（ ベイズの定理の真髄 ）

　【 別 解 】

　問題にしている６枚のカードのうち１枚はダイアで２枚は非ダイアであることが分かったので、残りの３枚がどうなっているのかを予想すればいいわけで、それには、９枚 ( ダイアが２枚含まれている ) のカードから３枚のカードを選んだときに含まれているダイアの数の期待値を求めればいいことになります。
　無作為にカードを横一列に並べ、左から３枚目のカードまでを抽出したカードと見なします。カードはダイアか非ダイアか以外は無個性とします。９枚のカードを並べる全ての場合の数は、₉Ｃ₂ ＝→ 36 とおり。期待値は次の式で表されます。
　　　１枚 × ( ₃Ｃ₁ × ₆Ｃ₁ ÷ 36 ) ＋ ２枚 × ( ₃Ｃ₂ × ₆Ｃ₀ ÷ 36 )
　　　　 　　　＝→　１枚 × ( 3 × 6 ÷ 36 ) ＋ ２枚 × ( 3 × 1 ÷ 36 )　＝→　2/3 枚
これに１枚を加えて、答えは 5/3 枚になります。

　【 シミュレーション 】

12個 のカードのうち 3枚 が当たりです。
まず 6枚を無作為に選びます。
その中の 3枚無作為に選びます。
すると、その中に当たりのカードが 1枚だけ入っていました。
6枚のカードには当たりのカードは何枚入っていると推定しますか？

　　



プログラムの内容 ：