スカラー場 ：　
ベクトル ：　

　　　　（ ハミルトン演算子 ）
　　　（ ラプラス演算子 ）


勾配 ：
　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 は、 スカラー を ベクトル に変換する演算子である。

　　　　　勾配とは、 ある点における、 微小変位によってスカラー場が最も大きく変化する方向
　　　　を向き、 その微小変位あたりの微小変化量と同じ大きさを持つベクトルである。

発散 ：
　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 は、 ベクトル を スカラー に変換する演算子である。

　　　　　発散とは、 ある点における、 単位体積あたりのベクトル場の湧き出し量を表すスカラ
　　　　ーである。

回転 ：
　　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 は、 ベクトル を ベクトル に変換する演算子である。

　　　　回転とは、ある点における、単位面積あたりの渦の強さを表すベクトルである。











勾配の例 その１ ：

　　　　スカラー場 ：　
　　　　

　　　　このスカラー場の勾配は、 位置ベクトルの２倍に等しい。



勾配の例 その２ ：

　　　　スカラー場 ：　
　　　　

　　　　このスカラー場の勾配は、 位置ベクトルに等しい。



勾配の例 その３ ：

　　　　スカラー場 ：
　 　　　　　　
　 　　　　　　

　 の大きさは だから、 の大きさは である。 したがって、 このスカラー場の勾配は、 位置ベクトルの大きさの２乗の逆数に等しくて、 位置ベクトルとは逆向きであることがわかる。

　 　と置くと、 　となるので、 スカラー場 は ベクトル場 のスカラーポテンシャルである。 スカラー場 は　　つまり　 であり、 ベクトル場 は、 大きさが原点からの距離の２乗の逆数に等しくて、 原点を向いている。 このようなベクトル場の例は、 原点に存在する質量 の物質が産生する重力場である。

　 物理学には、 「 位置エネルギー 」 という物理量があり、 普通は一様な重力場という条件の下での相対的な量であるが、 スカラーポテンシャル （ ポテンシャル ） は、 「 絶対的位置エネルギー 」 の指標となっている。 つまり、 そこに質量 の物質が存在するとき、 重力場を産生している物質に対するその物質の絶対的位置エネルギーは、 スカラーポテンシャルに をかけた値になっている。