（１） ガウス積分

極座標変換を用いて、 次のガウス積分の式が成り立つことを証明しましょう。
　　　　

　によって、 極座標系から直交座標系に変換されるものとします。
　　　　
　　　　
　　　　

（２） 正規分布曲線の積分

　 最も頻度の多い確率分布といえば、 正規分布です。 平均を 、 分散を としますと、 正規分布は次の式で表されます。
　　　　

これから、 　になっていることを証明してみましょう。

　　　　
　　　　 とおくと、
　　　　したがって、
　　　　　　　　
　　　　
　　　　

したがって、 正規分布曲線 と 軸 とで囲まれる範囲の面積は です。