（１） 物理学的空間（ ２次元空間 ）

　 点 は、 時刻 のときに原点にあり、 経過とともに変位します。 時刻 のときの点 の位置ベクトル は、次のように表されるものとします。
　　　　　

　グラフ １　　　　　　　
　　　　　　

すると、 時刻 のときの点 の速度 は、 次のように表されます。
　　　　
　　　　

また、 時刻 までに点 が移動した道のりは次のように表されます。
　　　　

　　　　コメント ：
　　　　　　点 のような一方方向への移動の場合は、 これでいいのですが、 たとえば次のよ
　　　　　うな周期運動の場合は 、道のりは　　からは求めることはできません。
　　　　　　　　　　　
　　　　　　この場合、 時刻 における道のりは なのですが、 この式によると に
　　　　　なってしまいます。
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　

（２） 物理学的時空間（ １次元空間 ）

　 先ほどの点 の移動について、 軸の１次元空間のみを考えることにします。 つまり、 軸方向の速さは として考えます。

時刻 のときの点 の位置は、 次のように表されます。
　　　　　

　グラフ ２　　（ これは 空間 ではなく、 時空間 のグラフです。）
　　　　　　

時刻 のときの点 の軸方向への速さは、 次のように表されます。
　　　　　
　グラフ ３　　（ これは 空間 でも 時空間 でもありません。 相関関係のグラフです。）
　　　　　　

時刻 までの点 の道のりは、 次のように表されます。 これは点 の位置に等しいです。
　　　　

（３） 数学的空間（ ２次元空間 ）

　 グラフ ４ は、 点 の軌跡を表したグラフです。

　グラフ ４　　　　　　　
　　　　　　

点 の位置ベクトル は、 次のように表されます。
　　　　

原点から点 までの曲線の長さは、 次のように表されます。
　　　　

ちなみに、 この式で と置くと、 次のようになります。
　　　　

　 このように曲線が の領域にあるとき、 次の４つの線分で囲まれる部分の面積は、 次のようになります。