今月のカレンダーを見てください。日曜日に当たっている日のうちから任意に１つ選んでください。月曜日に当たっている日のうちから任意に１つ選んでください。火曜日に当たっている日のうちから任意に１つ選んでください。・・・・ というふうにして土曜日までの全部で７個の日をピックアップしてください。そしてそれらの合計を求めてください。そしてそれが７の倍数になっていることを確かめてください。例えば、
　　　(1＋9＋17＋25＋19＋13＋7)÷7 ＝→ 91÷7 ＝→ 13 余り 0
なぜそうなるのでしょうか？

　7 を法とすると、選んだ日を小さい順に列記すると、0 1 2 3 4 5 6 になるので、それらの合計は 21 になって 7 で割り切れます。難しい言い方をしましたが、7 で割った余りが a の数 と 7 で割った余りが b の数 とを足した数を 7 で割った余りは、a＋b を 7 で割った余りに等しいということです。

　7 を法とする加法においては、単位元は 0 で、逆元どうしの関係になっているのは、1 と 6 、2 と 5 、3 と 4 です。( 逆元どうしの関係になっている数を加えると 7 、つまり、7 で割ると 0 余る数になります。)
　法が奇数のときは、0 を除くその法よりも小さい自然数はすべて、他の法よりも小さい自然数のどれかと逆元の関係になっています。したがって、法を越えない 0 以上の整数を全て加えると、その法で割り切れる数になります。

　今月のカレンダーを見てください。7 の倍数に当たる曜日だけは無視して、それ以外の各曜日に当たっている日のうちから任意に１つずつ選んで、全部で６個の日をピックアップしてください。そしてそれらを掛け合わせてください。そしてそれが 7 で割ると 6 余る数になっていることを確かめてください。これはウィルソンの定理の一例です。例えば、
　　　(1×9×17×25×19×13)÷7 ＝→ 944775÷7 ＝→ 134967 余り 6
なぜそうなるのでしょうか？

　7 を法とする乗法においては、単位元は 1 で、逆元どうしの関係になっているのは、2 と 4 、3 と 5 です。( 逆元どうしの関係になっている数どうしをかけると 7 で割ると 1 余る数になります。)
　法が素数のときは、0 を除くその法よりも 2 以上小さい自然数はすべて、他の法よりも 2 以上小さい自然数のどれかと逆元の関係になっていますし、法より１つ小さい数は、その法で割るとその余りはその素数よりも 1 つ少ない数になります。したがって、法よりも小さい 1 以上の整数を全てかけた数は、その法で割ると余りは法よりも 1 つ少ない数になります。なお、法が素数でない場合はこのようにはなりません。