Ａ君とＢさんは相談することなく １ から ５ の５個の自然数をすべて使って５桁の数を作ります。 そしてその数を提示し合って、 それぞれの位の数を比較します。 このとき、 位の数が少なくとも１組以上同じになる確率はいくらでしょうか？


（０）　誤解答

　 Ａ君は必ず少ない数の順に並べるというこだわりを持っていて、 12345 という数を作り、 Ｂさんはランダムな数を作るとします。 このケースについて確率を求めても、 この問題の求める確率と同じです。 したがって答えは次のようになると考えられます。
　　　　　
　 しかし、 この答えは間違っています 。 もし、 この問題が 「 Ａ君は １ から ５ の５枚のカードの中から、 Ｂさんに解らないように １ 枚を選んで裏返しに置き、 そのカードをＢさんに当ててもらいます。 正解かどうかカードを表にして確かめます。 それが終わったら、 同様にして次のカードをＢさんに当ててもらいます。 こうしてすべてのカードについてＢさんが予想をした時、 ２回以上当たる確率はいくらでしょうか？ 」 という問題ならこの答えでいいのですが。

　 さて、 この問題で、 たとえばＢさんが 31254 という数を作ったとしましょう。 ２つの数の万の位の数が一致しない確率は であり、 Ｂさんは ３ を選んだわけですから、 ２つの数のすべての位の数が一致しないための必要条件の１つをクリアしています。 それがクリアされた後、 千の位が一致しない確率は、 Ｂさんが １ と ２ と ４ と ５ の４個の数から２以外の数を選ぶ確率になっているので、 確率は になります。 Ｂさんは １ を選んだわけですから、 ２つの数のすべての位の数が一致しないための２つ目の必要条件をクリアしています。 それがクリアされた後、 百の位が一致しない確率は、 Ｂさんが ２ と ５ と ４ の３個の数から３以外の数を選ぶ確率になっているので、 確率は ではなくて になります。 Ｂさんは ２ を選んだわけですから、 ２つの数のすべての位の数が一致しないための３つ目の必要条件をクリアしています。 それがクリアされた後、 十の位が一致しない確率は、 Ｂさんが ４ と ５ の２個の数から４以外の数を選ぶ確率になっているので、 確率は になります。 Ｂさんは ５ を選んだわけですから、 ２つの数のすべての位の数が一致しないための４つ目の必要条件をクリアしています。 このように具体的にみていきますと、 この答えは間違っていることが解ります。 また、次のシミュレーションをみてもこれが誤解答であるっことは明らかです。

（１） プログラムによる「 モンモールの出合いの問題 」のシミュレーション

　 １ から ５ の数字を１つずつ使って５桁の数を作ったとき、
それぞれの桁の数がそれぞれの桁に一致するかどうか？
たとえば 14235 は 4 がその桁に一致する。
１つでも一致すれば合格とすると、合格する確率は何％？

　
１組み以上同じ数である確率　

最初の１０回の結果 :


　　JavaScript のプログラム ：

　　十進BASIC のプログラム ( モンモールの出合いの問題 )：

（２） 一般的な解法

　 Ａ君は必ず少ない数の順に並べるというこだわりを持っていて、 12345 という数を作り、 Ｂさんはランダムな数を作るとします。 このケースについて確率を求めても、 この問題の求める確率と同じです。 一般に １ から ｎ までのすべての自然数を使ってできる２つの ｎ 桁の自然数について、 位の数が少なくとも１組以上同じになる確率を とします。 まず、 １組だけが同じになる場合を考えましょう。 たとえば、十の位以上の数がすべて異なるとすれば、 一の位の数が等しくならなければなりません。 これは、 すべてで ｎ 通りある中の１通りですから。 確率は ｎ 分の１通り になります。 したがって、 １組だけが同じになる確率は次の式で与えられることが解ります。
　　　　　
　 これに、 ２組だけが同じになる場合、 ３組だけが同じになる場合、 ・ ・ ・ ・　と加えていくと は次のようになります。






　　　
　　　
　　　
　　　

　 以上で答えが求まりました。 さて、 の式は、もっとコンパクトにすることができて、 次のようになります。
　　　　　

（３） オイラーによる解法

　 Ａ君は必ず少ない数の順に並べるというこだわりを持っていて、 12345 という数を作り、 Ｂさんはランダムな数を作るとします。 このケースについて確率を求めても、 この問題の求める確率と同じです。 一般に、 １ から ｎ までのすべての自然数を使ってできる２つの ｎ 桁の自然数について、 位の数がすべて異なる場合の数を とし、 について考えていきましょう。

　Ｂさんの作った数の一の位の数が４である場合

ａ ） Ｂさんの作った数の十の位の数が５である場合
　 万の位、 千の位、 百の位 のすべての数が異なる場合の数は、 １ と ２ と ３ の３個の数をすべて使って３桁の数を２つ作ったときに、 位の数がすべて異なる場合の数に等しいので、 になります。

ｂ ） Ｂさんの作った数の十の位の数が５以外の数である場合
　 今考えているのは、 すべての位の数が異なる場合です。 したがって、 Ａさんが作った数の十の位の数は４なので、 ５という数を４という数とみなして、 Ｂさんが １ と ２ と ３ と ４ の４個の数をすべて使って数を作ったときに、 1234 という数と位の数がすべて異なる場合の数が、 求めたい場合の数になります。 したがって、 になります。


　Ｂさんの作った数の一の位の数が１である場合

ａ ） Ｂさんの作った数の万の位の数が５である場合
　 千の位、 百の位、 十の位 の全ての数が異なる場合の数は、 ２ と ３ と ４ の３個の数をすべて使って３桁の数を２つ作ったときに、 位の数がすべて異なる場合の数に等しいので、 になります。

ｂ ） Ｂさんの作った数の万の位の数が５以外の数である場合
　 今考えているのは、 すべての位の数が異なる場合です。 したがって、 Ａさんが作った数の万の位の数は １ なので、 ５という数を １ という数とみなして、 Ｂさんが １ と ２ と ３ と ４ の４個の数をすべて使って数を作ったときに、 1234 という数と位の数がすべて異なる場合の数が、 求めたい場合の数になります。 したがって、 になります。


　Ｂさんの作った数の一の位の数が２である場合
　 　ａ ） Ｂさんの作った数の千の位の数が５である場合
　　　　　　　（ 略 ）
　 　ｂ ） Ｂさんの作った数の千の位の数が５以外の数である場合
　　　　　　　（ 略 ）

　Ｂさんの作った数の一の位の数が３である場合
　 　ａ ） Ｂさんの作った数の百の位の数が５である場合
　　　　　　　（ 略 ）
　 　ｂ ） Ｂさんの作った数の百の位の数が５以外の数である場合
　　　　　　　（ 略 ）

〜 より、 は次のように表されることが解ります。
　　　　　
そうして、 一般には、 は次のように表されることが解ります。
　　　　　

したがって、 漸化的に を求めることができます。
　　　　　

したがって、 この問題が求める確率は次のようになります。
　　　　

（４） 含除原理から確率を求める。

交わっている５つの集合の包除原理を次のようになります。

　　　
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　

　　　　　　 　　　　　　　※ 参照： 大学生のための数学 ＞ 論理学 ＞ 包除原理

２つの５桁の数について、 位の数が２組以上同じになる確率は、 次のようになります。
　　　　　
２つの５桁の数について、 位の数が３組以上同じになる確率は、 次のようになります。
　　　　　
　 一般には、 ２つの ｎ 桁の数について、 位の数が ｍ 組以上同じになる確率は、 次のようになります。
　　　　　

集合Ａ ：　Ｂさんが選んだ数のうち、 万の位の数が １ である数
集合Ｂ ：　Ｂさんが選んだ数のうち、 千の位の数が ２ である数
集合Ｃ ：　Ｂさんが選んだ数のうち、 百の位の数が ３ である数
集合Ｄ ：　Ｂさんが選んだ数のうち、 十の位の数が ４ である数
集合Ｅ ：　Ｂさんが選んだ数のうち、 一の位の数が ５ である数

全体集合の要素の数を とします。

　　　　　

（５） 十進BASIC のプログラム

　 １ から ｎ までのすべての自然数を使ってできる２つの ｎ 桁の自然数について、 位の数が１組以上同じになる確率を、 以上の３つの方法で求めるプログラムです。

（６） ネイピア数の近似値を求める十進BASIC のプログラム

　 一般に、 １ から ｎ までのすべての自然数を使ってできる２つの ｎ 桁の自然数について、 位の数が１組以上同じになる確率 は、 次のようになります。
　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・ ・ ・ ・ ・ ・　

マクローリン展開式より
　　　　　
したがって次の式が成り立ちます。
　　　　　
したがって、 より次の式が成り立ちます
　　　　　
　 この式の意味は、「 １ から ｎ までのすべての自然数を使ってできる ｎ 桁の自然数を任意に２つ取り出した時に、 すべての桁の数が異なっている確率は ｅ^−１ である。」ということです。

　 したがって、 これを利用するとネイピア数の近似値を求めるプログラムを作ることができます。