【 問 題 １ 】

　 コイントスを繰返して次のようなパターンになるまで平均何回かかるか？
　　　（１）　裏 → 裏　または　表 → 表　（ ２連続して同じ結果となる。）
　　　（２）　裏 → 表　または　表 → 裏
　　　（３）　表 → 表
　　　（４）　裏 → 表

　【 解 答 】

目的のパターンになることを念願成就と言うことにする。
（１）と（２）
　　　２投目からは毎回次の １ 投で念願成就する可能性がある。
　　　１ 投目終了以降の念願成就までのコイントスの回数の期待値を Ｆ 回 とする。
　　　２投目の直前に次の式が成立する。
　　　　　　Ｆ 回　＝　( 1 / 2 ) × １ 回　＋　( 1 / 2 ) × ( １ ＋ Ｆ ) 回
　　　したがって、 Ｆ 回　＝　２ 回
　　　求めるコイントスの回数の期待値を Ｅ 回 とする。
　　　　　　Ｅ 回　＝　１ 回 ＋ Ｆ 回　＝→　３ 回

（３）
　　　求めるコイントスの回数の期待値を Ｅ 回 とする。
　　　１ 投目で裏が出た時点では、 期待値は １ 回 ＋ Ｅ 回 となる。
　　　１ 投目で表が出た時点では、 ２投目は ２分の １ の可能性で念願成就できる。
　　　１ 投目で表が出て２投目で裏が出た場合は、 その時点で期待値は ２ 回 ＋ Ｅ 回 となる。
　　　したがって、次の式が成り立つ。
　　　　　　Ｅ 回　＝　( 1 / 2 ) × ( １ 回 ＋ Ｅ 回 ） ＋　( 1/2 × 1/2 ) × ２ 回　＋　( 1/2 × 1/2 ) × ( ２ 回 ＋ Ｅ 回 ）
　　　したがって、 Ｅ ＝ ６

（４）
　　　求めるコイントスの回数の期待値を Ｅ 回 とする。
　　　裏が出た直後にあと何回で念願成就できるかの期待値を Ｆ 回 とする。
　　　すると、次の式が成り立つ。
　　　　　　Ｅ 回　＝　( 1 / 2 ) × ( １ 回 ＋ Ｅ 回 ） ＋　( 1 / 2 ) × ( １ 回 ＋ Ｆ 回 ）
　　　　　　よって、 Ｅ ＝ Ｆ ＋ ２
　　　また、次の式も成り立つ。
　　　　　　Ｆ 回　＝　( 1 / 2 ) × １ 回　＋　( 1 / 2 ) × ( １ 回 ＋ Ｆ 回 ）
　　　　　　よって、 Ｆ ＝ ２
　　　したがって、 Ｅ ＝ ４
　　　　　　　　　　　　　　　　　＊（３）と（４）とが異なるのが不思議です。



　10万回のシミュレーション　　
　　　２連続で成就 ：　
　　　前と異なるもので成就 ：　
　　　表 → 表 で成就 ：　
　　　裏 → 表 で成就 ：　

【 問 題 ２ 】

　 サイコロを繰返して振ったとき、 次のようなパターンになるまで平均振らなければならないか？
　　　（１） ２連続して同じ数が出る。
　　　（２） １ が２回続けて出る。

　【 解 答 】

目的のパターンになることを念願成就と言うことにする。
（１）
　　　２投目からは毎回 1 / 6 の可能性で念願成就する可能性がある。
　　　したがって、 トライ回数の期待値は、 １ ＋ １ / ( １ / 6 )　＝→　７ 回 である。

（２）
　　　求めるトライ回数の期待値を Ｆ 回 とする。
　　　１ 投目で １ 以外が出た時点では、 期待値は １回 ＋ Ｆ 回 となる。
　　　１ 投目で １ が出たとき、 ２投目は ６分の １ の可能性で念願成就できる。
　　　　　　Ｆ　＝　( 5 / 6 ) × ( １ ＋ Ｆ )　＋　( 1 / 6 )^2 × ２　＋　( 1 / 6 ) × ( 5 / 6 ) × ( ２ ＋ Ｆ )
　　　したがって、 Ｆ ＝ 42



　10万回のシミュレーション　　　
　　　２連続して同じ数が出る ：　
　　　１ が２回続けて出る ：　



プログラムの内容 ：