確率 へ戻る（１） 調査による確率の変動 と 条件付き確率
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赤玉３個と白玉３個が入っている袋があります。 眼をつぶったまま袋から１個を取り出して箱の中に入れます。 この時点で、 箱の中に赤玉が存在する確率は
では、 調査を開始します。 袋の中から無作為に３個玉を取り出します。 すると、 白玉が２個と赤玉が１個でした。 この時点で、 箱の中に赤玉が存在する確率はいくらでしょうか？
「 箱の中に赤玉が存在する確率は相変わらず
もし箱の中に赤玉が存在すると仮定すると、 そのときに袋の中から無作為に３個玉を取り出したときに白玉が２個と赤玉が１個である確率は、 10通りのうちの６通りで ５分の３ です。 もし箱の中に白玉が存在すると仮定すると、 そのときに袋の中から無作為に３個玉を取り出したときに白玉が２個と赤玉が１個である確率は、 10通りのうちの３通りで 10分の３ です。
ｂ ： 箱の中に赤玉が存在し、かつ、袋の中から無作為に３個玉を取り出したときに白玉が２個と赤玉が１個である確率
ｃ ： 箱の中に赤玉が存在し、かつ、袋の中から無作為に３個玉を取り出したときに白玉が２個と赤玉が１個でない確率
ａ ： 箱の中に白玉が存在し、かつ、袋の中から無作為に３個玉を取り出したときに白玉が２個と赤玉が１個である確率
ｄ ： 箱の中に白玉が存在し、かつ、袋の中から無作為に３個玉を取り出したときに白玉が２個と赤玉が１個でない確率
袋の中から無作為に３個玉を取り出したときに白玉が２個と赤玉が１個であったとき、 箱の中に赤玉が存在する確率は、 次のようになります。
以上より、 調査によって、 箱の中に赤玉が存在する確率は、
ついでに、 条件付き確率が成り立っているかどうか確かめてみましょう。
条件付き確率とは、 「 Ａ → Ｂ の２つの時系的事象について、 ２つの事象が共に発生する確率 を Ｂの事象が発生する確率 で割れば、 Ｂの事象が発生したことが公表された時点でのＡの事象が発生していた確率が解る。」 という定理です。
このケースで 「 ２つの事象が共に発生する確率 」 は ｂ であり、 「 Ｂの事象が発生する確率 」 は ａ＋ｂ ですので、 上の式と同じになります。
（２） 無作為的残り物調査による確率の変動
モンティホール問題は 「 作為的残り物調査による確率の不動 」 の例です。 司会者は３枚のカードのうち１つの当たりカードがどれなのかを知っています。 最初に回答者が１枚のカードを手にしたとき、 回答者が手にしたカードが当たりである確率は ３分の１ で、 司会者が手にした２枚のカードのうちひとつが当たる確率は ３分の２ です。 その後、 司会者は２枚のうちの当たりでない方のカードを意図的に選んで公表して捨てるのですから、 司会者が最後に手にしているカードは ３分の２ の確率で当たりになっています。 司会者の当たる確率は、 司会者の作為的残り物調査によっても変動しないのです。
これに対して、 次のような問題は 「 無作為的残り物調査による確率の変動 」 をきたします。
赤、 青、 黄 のカードが６枚ずつあります。 裏返すとこれらのカードは白で区別がつきません。 よくきった後、 机の上に裏返しにして重ねて置きます。 次に一番上のカード （ １枚目とする ） をめくらないで他の場所に移動させます。 その次に２枚目から11枚目をめくって机の上に散らばらします。 すると、 黄は２枚だけでした。 では、 １枚目のカードが黄である確率はいくらでしょうか？
答えは ３分の１ ではありません。 確かに 「 無作為的残り物調査 」 が行われる前は ３分の１ でしたが ・ ・ ・。 答えは簡単です、 無作為的残り物調査をされたカードを除外して考えればいいだけです。
答えは、 （ ３×６−10 ） 分 の （ ６−２ ） ＝ ２分の１ です。
この問題を条件付き確率を使って解こうとすると、 少しややこしくなります。 でも、 やってみましょう。
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１枚目のカードが黄で、 かつ、 ２枚目から11枚目が結果どおりになる確率は、
１枚目のカードが黄以外で、かつ、２枚目から11枚目が結果どおりになる確率は、
したがって、 求める確率は、
シミュレーション ：
赤、 青、 黄、 それぞれ６枚ずつある。 １枚選ぶ。
その後10枚選んだときに、 黄２枚だった。
最初に選んだのが黄である確率は？ （ １万回試行 ）
プログラムの内容：