【 問 題 １ 】

　袋Ａの中に赤玉が13個と白玉が39個入っています。目隠しをして、この中から無作為に4個の玉を取り出したところ赤玉と白玉が2個ずつである確率を求めよ。

【 解 答 】

　₁₃Ｃ₂ × ₃₉Ｃ₂ × ₄Ｐ₄ ÷ ₅₂Ｐ₄　≒→　21.35 %

【 問 題 ２ 】

　袋Ａの中に赤玉が13個と白玉が39個入っています。目隠しをして、この中から無作為に12個の玉を取り出し、袋Ｂの中に入れました。次に、袋Ｂの中から無作為に4個の玉を取り出したところ赤玉と白玉が2個ずつでした。袋Ｂの中にこの4個の玉を返したとき、袋Ｂの中には赤玉が何個入っていると推定されますか?

【 誤 解 】

　標本4個における赤玉の存在確率は50%でしたので、母集団における赤玉の存在確率も50%であると推定します。したがって、袋Ｂの中の12個の玉のうち6個が赤玉であると推定します。
　しかし、これは力不足です。「袋Ａの中に赤玉が13個と白玉が39個入っています。目隠しをして、この中から無作為に12個の玉を取り出し、袋Ｂの中に入れました。」という情報があるので、もっと正確に推定できるのです。

【 正 解 １ 】

　ベイズ推定をします。袋Ｂに移された玉のうちの2個だけが赤玉であり かつ 袋Ｂの中から4個の玉を抽出したときに赤玉が2個だけの確率、袋Ｂに移された玉のうちの3個だけが赤玉であり かつ 袋Ｂの中から4個の玉を抽出したときに赤玉が2個だけの確率、袋Ｂに移された玉のうちの4個だけが赤玉であり かつ 袋Ｂの中から4個の玉を抽出したときに赤玉が2個だけの確率、・・・・・、袋Ｂに移された玉のうちの10個だけが赤玉であり かつ 袋Ｂの中から4個の玉を抽出したときに赤玉が2個だけの確率、以上を足せば、袋Ａの中から4個の玉を抽出したときに赤玉が2個だけである確率（ ₁₃Ｃ₂ × ₃₉Ｃ₂ × ₄Ｐ₄ ÷ ₅₂Ｐ₄ ）に等しくなります。袋Ｂに移された玉のうちの2個だけが赤玉であり かつ 袋Ｂの中から4個の玉を抽出したときに赤玉が2個だけの確率 を 袋Ａの中から4個の玉を抽出したときに赤玉が2個だけである確率 で割ると、袋Ｂの中から4個の玉を抽出したときに赤玉が2個だけだった場合に、袋Ｂに移された玉のうちの2個だけが赤玉であった確率になります。 <SCRIPT type="text/JavaScript"> function main() { var x = 0; var count = 0 for ( i=2; i<11; i++ ) { x += ( COMB(13,i) * COMB(39,12-i) ) * POMB(12,12) / POMB(52,12) * ( COMB(i,2) * COMB(12-i,2) ) * POMB(4,4) / POMB(12,4); } for ( i=2; i<11; i++ ) { count += i * ( ( COMB(13,i) * COMB(39,12-i) ) * POMB(12,12) / POMB(52,12) * ( COMB(i,2) * COMB(12-i,2) ) * POMB(4,4) / POMB(12,4) ) / x; } document.frm.ans.value = Math.round(1000*count)/1000; } function POMB(a,b) { var Q = 1; for ( var i=0; i<b; i++ ) { Q *= a-i; } return Q; } function COMB(a,b) { var Q = 1; var R = 1; for ( var i=0; i<b; i++ ) { Q *= a-i; R *= b-i; } return Q/R; } </SCRIPT>
document.frm.ans.value ＝ 個


　　　　※ プログラム中の最終的な x の値： ₁₃Ｃ₂ × ₃₉Ｃ₂ × ₄Ｐ₄ ÷ ₅₂Ｐ₄

【 正 解 ２ 】

　取り出した4個の玉を袋Ｂに返す前に、袋Ｂの中に入っている赤玉の数の期待値を求めてそれに2を足せばいいのです。つまり、赤玉が11個と白玉が37個入った袋の中から無作為に8個を抽出したときの赤玉の数の期待値に2を足せばいいのです。 <SCRIPT type="text/JavaScript"> function main() { var x = 0; for ( i=0; i<11; i++ ) { x += i * ( COMB(11,i) * COMB(37,8-i) ) * POMB(8,8) / POMB(48,8); } document.frm.ans.value = Math.round(1000*(x+2))/1000; } </SCRIPT>
document.frm.ans.value ＝ 個