確率 へ戻る（１） 永久にチャレンジしても１回も当たりが出ない確率
-
何度引いても同じ確率で当たりが出るくじがある。
何回チャレンジする？ → n 回
１回のチャレンジで当たりが出る確率は 1 / n である。
n 回チャレンジして１回も当たりが出ない確率は次の式で与えられる。
果てしなくチャレンジしたときに１回も当たりが出ない確率は次の式で与えられる。
この式は、次の２通りに変形することができる。
当たる確率が 1/n ( n は無限大の自然数 ) のくじを繰り返し n 回引いたとき、一度も当たらない確率は 1/e であることを証明してみましょう。
（２） 無数の人たちによる集団プレゼント交換会
-
そのルール：
１人が１個のプレゼントを用意して集まる。
集まったプレゼントの中から１人１個のプレゼントがもらえる。
プレゼンをもらったらすぐにそのプレゼントを持って帰らなければならない。
プレゼントは１人ずつ順番にもらえる。
そのもらい方は、余ったプレゼントの中から無作為に１個を抽出することによる。
プレゼントをもらえるのは直前に自分が用意したプレゼントが抽出された人である。
もし、それに該当する者がない場合は、最も年上の人になる。
１人も自分が用意したプレゼントに当たらない確率を求めてみよう。
まず、無数の人たちではなく、n 人の人たちによる集団プレゼント交換会において、１人も自分が用意したプレゼントに当たらない確率を Pn とする。
n 人の人たちによる集団プレゼント交換会において、１人も自分が用意したプレゼントに当たらない場合の数を A n とすると、Pn と A n の関係は次のようになる。
Pn ＝ A n / n! よって、 A n ＝ n! Pn
① 最初にプレゼントをもらった人と２番目にプレゼントをもらった人がプレゼントの互換になっている場合の数
A n－2 × ( n－1 )
※ n－1 は、最初の人が自分が用意したプレゼント以外のものを１つゲットする場合の数
※ 最初の人以降は自分が用意したプレゼント以外の物をゲットするのであるが、
その場合の数が A n である。
※ 最初の人は自分が用意したプレゼント以外の物をゲットするのである。
② 最初にプレゼントをもらった人と２番目にプレゼントをもらった人がプレゼントの互換になっていない場合の数
A n－1 × ( n－1 )
※ ２番目の人以降は自分が用意したプレゼント以外の物をゲットするのであるが、
その場合の数が A n－1 である。
※ ２番目の人は自分が用意したプレゼントと最初の人が用意したプレゼント以外
の物をゲットするのであるが、 自分が用意したプレゼントはもう無いので、
最初の人が用意したプレゼント以外の物をゲットするのである。
① と ② より、次の漸化式ができる。
A n ＝ ( n－1 ) × ( A n－1 ＋ A n－2 )
したがって、
ここで、
と置くと、
だから、
つまり、
よって、
・
・
・
これらを辺々加えて、
したがって、
よって、
