力学 へ戻る【 問 題 】
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簡略化のためにSI単位の記述を省略する。
質量 m の重りに長さ r のひもを付け、他の端を固定し、自由に振り子運動や非等速円運動ができるようにした。
重りの最下点において初速 v0 を与えるとき、非等速円運動にするためには v0 を最低でもいくらにしなければならないか？
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非等速円運動にするための必要条件は、重りが最上点にあって速さ v で移動しているときにひもが重りを引っぱる張力 ( T ) が０以上になっていることです。つまり、次の式が成り立っていることです。
T ≧ 0 ・・・ @
重りが最上点にあって速さ v で移動しているときには、重りと並走している観察者にとって、次の力のつり合いの式が成り立っています。
mg ＋ T ＝ mv2/ r ・・・ A （ 右辺は上向きの力で遠心力 ）
重りが最下点にあって速さ v0 で移動しているとき と 重りが最上点にあって速さ v で移動しているとき のエネルギー保存則は、次の様になります。
1/2 × mv02 ＝ 1/2 × mv2 ＋ 2mg r ・・・ B
B より、
v02 ＝ v2 ＋ 4g r
よって、
v2 ＝ v02 − 4g r ・・・ C
A より、
T ＝ mv2/ r − mg ・・・ D
C を D に代入して、
T ＝ m ( v02 − 4g r ) / r − mg
よって、
T ＝ ( m / r ) × ( v02 − 5g r ) ・・・ E
E を @ に代入して、
( m / r ) × ( v02 − 5g r ) ≧ 0
よって、
v02 − 5g r ≧ 0
よって、
v02 ≧ 5g r
よって、
したがって答えは、
