大気中でバネを振動させると、 空気抵抗によって振動幅が次第に縮小していきます。 バネ定数 のバネによる力は、 変位 （ ） に比例し、 変位の向きと反対方向に作用します。 また、 抵抗係数 の空気抵抗は、 物質の相対的な速さに比例し、 速さの反対方向に作用します。 したがって、 減衰運動の運動方程式は次のようになります。
　　　　　
　　 と置くと、
　　　　　　

　 今からこの２階微分方程式を解いていきます。
と置くと、
ですから、
　　　　
　　　　
したがって、 この２階微分方程式の基本解は、 次の２つになります。
　　　　

これから、 一般的な 　のときを考えます。
　　　　

一般解は、次のよう書くことができます。
　　
　　
　　
　　
　　

この式の実数部分に注目してください。 次のようになっています。
　　　　
　 これは、 角速度が で、 振幅が の波です。 これを見ると、 時の経過とともに振幅が小さくなっていくことが解ります。 ですから、 減衰振動と言うのです。


　　　　　　　　　　　　　　　　（ 参 考 ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　波動方程式より、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　バネの運動方程式より、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 と より