容疑者Ｘ の選択
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2013.01.20____

　 ある犯罪の容疑で 共犯の Ｘ と Ｙ が逮捕され、 これから１か月間という期限つきで、 拘束され毎日厳しい取り調べが行われようとしています。 ２人が口裏を合わせぬよう、 別々の施設に拘束されます。 そして最初に、 次の懲役表が２人に提示されます。

　　　　　　容　疑　者　Ｙ　の　選　択

　　　　自　　 白

　　　　黙　　 秘

　

　容

　疑

　者

　Ｘ

　の

　選

　択


　自

　

　白


Ｘ ：　懲役 ５か月


Ｙ ：　懲役 ５か月


Ｘ ：　釈放


Ｙ ：　懲役 １１か月


　黙

　

　秘


Ｘ ：　懲役 １１か月


Ｙ ：　釈放


Ｘ ：　釈放


Ｙ ：　釈放


　容疑者Ｘ による したたかな計算 ：
　 容疑者Ｙ が自白する確率を とし、 自分が自白する確率を とするとき、 自分が刑期を含めて拘束される長さの期待値を とします。 すると、 次の式が成り立ちます。 なお、 自白したとしても取り調べ中の１ か月間は拘束され、 その直後に懲役刑が始まるとします。
　　　　
　 が から の間のどんな実数をとろうとも、 が最小になるのは、 から の間の値をとり得る が のときです。


　容疑者Ｙ による したたかな計算 ：
　 容疑者Ｘ が自白する確率を とし、 自分が自白する確率を とするとき、 、 自分が刑期を含めて拘束される長さの期待値を とします。 すると、 次の式が成り立ちます。 なお、 自白したとしても取り調べ中の１ か月間は拘束され、 その直後に懲役刑が始まるとします。
　　　　
　 が から の間のどんな実数をとろうとも、 が最小になるのは、 から の間の値をとり得る が のときです。


　のとき、 と より、　　になります。
ちなみに　　のときは、 と より、　　になります。
また、 　のときは、 と より、　　になります。

　 このように、 もし２人が口裏を合わせることができるのであれば、 決して２人とも自白することはありません。 しかし、 以上のようなゲーム理論により、 ２人とも自白することになるのです。 これは 「 囚人のジレンマ 」 と言われています。

　※ 参照： 確率 ＞ 囚人のジレンマについて考える