交互にチャレンジする念願成就早い者勝ち
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2022.11.11____
【 問 題 １ 】
交互にチャレンジします。Ａ君から始めます。先にコイントスで表が出た方が勝ちです。
Ａ君が勝つ確率を求めなさい。
【 解 答 】
初めてのチャレンジの直後にＡ君が勝っている確率： 1/2
初めてのチャレンジの直後にＢ君が勝っている確率： 1/2 × 1/2 ＝→ 1/4
２人が初めてのチャレンジをした直後に決着がついてない確率： 1/2 × 1/2 ＝→ 1/4
n 回目のチャレンジの直後にＡ君が勝っている確率： (1/4)n−1 × 1/2
n 回目のチャレンジの直後にＢ君が勝っている確率： (1/4)n−1 × 1/4
２人が n 回目のチャレンジをした直後に決着がついてない確率： (1/4)n
２人が n 回目のチャレンジをしたときに、n の値にかかわらず、Ａ君が勝つ確率は 1/2 で、Ｂ君が勝つ確率は 1/4 であるから、このゲームで Ａ君が勝つ確率は次の式で与えられる。
【 問 題 ２ 】
交互にチャレンジします。Ａ君から始めます。先に各自の念願成就した方が勝ちです。
Ａ君の念願： ２つのサイコロを振ったときに、出た目の数の和が６になる。
Ｂ君の念願： ２つのサイコロを振ったときに、出た目の数の和が７になる。
Ａ君が勝つ確率を求めなさい。
【 解 答 】
１回のチャレンジでＡ君の念願が成就する確率： 5/36 ※（1,5）（2,4）（3,3）（4,2）（5,1）
１回のチャレンジでＢ君の念願が成就する確率： 6/36 ＝→ 1/6 ※（1,6）（2,5）（3,4）（4,3）（5,2）（6,1）
初めてのチャレンジの直後にＡ君が勝っている確率： 5/36
初めてのチャレンジの直後にＢ君が勝っている確率： 31/36 × 1/6 ＝→ 31/216
２人が初めてのチャレンジをした直後に決着がついてない確率： 31/36 × 5/6 ＝→ 155/216
n 回目のチャレンジの直後にＡ君が勝っている確率： (155/216)n−1 × 5/36
n 回目のチャレンジの直後にＢ君が勝っている確率： (155/216)n−1 × 31/216
２人が n 回目のチャレンジをした直後に決着がついてない確率： (155/216)n
２人が n 回目のチャレンジをしたときに、 n の値にかかわらず、Ａ君が勝つ確率は 5/36 で、Ｂ君が勝つ確率は 31/216 であるから、このゲームで Ａ君が勝つ確率は次の式で与えられる。
【 問 題 ３ 】
Ａ君とＢ君が競います。サイコロを交互に振って先に１が出た方が勝ちです。先手はＡ君です。このゲームでＢ君が勝つ確率を求めてください。
【 解 答 】
第１投目に
Ａ君が勝つ確率：
Ｂ君が勝つ確率：
勝負がつかない可能性：
第２投目に
Ａ君が勝つ確率：
Ｂ君が勝つ確率：
勝負がつかない可能性：
第３投目に
以下（略）
このゲームでＢ君が勝つ確率：
したがって、
【 別 解 】
第１投目で決着がつかなかった場合は、その時点で、第２投目は第１投目と考えることができます。ということは、第１投目でＡ君が勝つ確率とＢ君が勝つ確率を用いて、次のようにして、このゲームでＢ君が勝つ確率を求めることができます。
プログラムの内容 ：