【 問 題 】

　n 人います。 偶数のメンバーからなる １ 組のユニットを結成します。
全部で何通り出来ますか？

【 解 答 】

（１） n が偶数のとき

求める答えは次のようになります。
　　　_nＣ_２ ＋ _nＣ_４ ＋　_nＣ₆ ＋ ・ ・ ・ ＋ _nＣ_n
さて、
　　（ x ＋ １ ）ⁿ ＝　xⁿ　＋ _nＣ_１x^n−１ ＋ _nＣ_２x^n−２ ＋　_nＣ_３x^n−３ ＋ ・ ・ ・ ＋ _nＣ_n

x ＝ １　を　代入すると、
　　２ⁿ ＝　１　＋ _nＣ_１ ＋ _nＣ_２ ＋　_nＣ_３ ＋ ・ ・ ・ ＋ _nＣ_n　　・ ・ ・

x ＝ −１　を　代入すると、
　　０ ＝　１　− _nＣ_１ ＋ _nＣ_２ −　_nＣ_３ ＋ ・ ・ ・ ＋ _nＣ_n　　・ ・ ・

と の辺々を加えると、
　　２ⁿ ＝　２ × （ １　＋ _nＣ_２ ＋ _nＣ_４ ＋　_nＣ_６ ＋ ・ ・ ・ ＋ _nＣ_n ）

よって、
　　　_nＣ_２ ＋ _nＣ_４ ＋　_nＣ₆ ＋ ・ ・ ・ ＋ _nＣ_n　＝　２^n−１− １


（２） n が奇数のとき

求める答えは次のようになります。
　　　_nＣ_２ ＋ _nＣ_４ ＋　_nＣ₆ ＋ ・ ・ ・ ＋ _nＣ_n−１

さて、
　　（ x ＋ １ ）ⁿ ＝　xⁿ　＋ _nＣ_１x^n−１ ＋ _nＣ_２x^n−２ ＋　_nＣ_３x^n−３ ＋ ・ ・ ・ ＋ _nＣ_n

x ＝ １　を　代入すると、
　　２ⁿ ＝　１　＋ _nＣ_１ ＋ _nＣ_２ ＋　_nＣ_３ ＋ ・ ・ ・ ＋ _nＣ_n　　・ ・ ・

x ＝ −１　を　代入すると、
　　０ ＝　−１　＋ _nＣ_１ − _nＣ_２ ＋　_nＣ_３ − ・ ・ ・ ＋ _nＣ_n

よって、
　　０ ＝　１　− _nＣ_１ ＋ _nＣ_２ −　_nＣ_３ ＋ ・ ・ ・ − _nＣ_n　　・ ・ ・

と の辺々を加えると、
　　２ⁿ ＝　２ × （ １　＋ _nＣ_２ ＋ _nＣ_４ ＋　_nＣ_６ ＋ ・ ・ ・ ＋ _nＣ_n−１ ）

よって、
　　　_nＣ_２ ＋ _nＣ_４ ＋　_nＣ₆ ＋ ・ ・ ・ ＋ _nＣ_n−１　＝　２^n−１− １


（３） というわけで

n が偶数・奇数にかかわらず、 答えは　２^n−１− １ 通り になります。