確率 へ戻る【 問 題 １ 】
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ハートのカードが３枚、 スペードのカードが７枚、 計10枚のカードが裏返しにしてばら撒かれている。 無作為に一枚ずつめくっていったとき、 初めてハートが出るまで平均で何枚のカードをめくることになるか？
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ｋ 枚目にめくったカードが初めてハートであったとき、 ｋ 点得るものとする。
まず、 ｋ 枚目にめくったカードが初めてハートである確率を求める。 それには、 10枚のカードを左から順に一列に並べたときに、 左からｋ 番目にハートがあってそれより左側にはハートがない場合の確率を求めればいい。
ハートのカードの中では区別しないし、 スペードのカードの中でも区別しない。
すべてのカードの並べ方の場合の数は 10Ｃ 3 。
条件を満たす場合の数は、 ｋ 枚目よりも右側のカードの並べ方で決まる。
つまり、 10−ｋＣ 2 。
したがって、 ｋ 枚目にめくったカードが初めてハートである確率は、
10−ｋＣ 2 / 10Ｃ 3 ＝→ ( 10 − ｋ ) ( 9 − ｋ ) / 240
したがって、 期待値は、
１ × ９ × ８ / 240 ＋ ２ × ８ × ７ / 240 ＋ ３ × ７ × ６ / 240 ＋
・ ・ ・ ・ ＋ ７ × ３ × ２ / 240 ＋ ８ × ２ × １ / 240
＝→ 1 / 240 × （ １ × ９ × ８ ＋ ２ × ８ × ７ ＋ ３ × ７ × ６ ＋
・ ・ ・ ・ ＋ ７ × ３ × ２ ＋ ８ × ２ × １ ）
＝→ 1 / 240 × 660 ＝→ 2.75
したがって、 答えは、 平均で 2.75 枚 である。
シミュレーション ：
赤玉が ｎ 個、 白玉が ｍ 個 入っている袋があります。
その中から 玉 を 無作為に １ 個ずつ取り出していきます。
初めて赤玉が出たときの取り出した玉の数を点数として得ます。
得点の期待値はいくらでしょうか？
プログラム ：
【 問 題 ２ 】
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ハートのカードが３枚、 スペードのカードが７枚、 計10枚のカードが裏返しにしてばら撒かれている。 無作為に一枚ずつめくっていったとき、 すべてのハートが出るまで平均で何枚のカードをめくることになるか？
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まず、 めくったカードを置く場所を作ります。 それは、 横一列に10個のカードケースを配置したものです。
めくったカードは、 右から順にカードケースに入れていきます。 そして10枚すべてをめくったら、 こう考えます。
もし、 左から順にめくったと考えれば、 n 番目に初めてハートのカードをめくった場合は、実際は右から順にめくって 10−ｎ＋１ 番目に最後のハートのカードをめくったことになります。
したがって、 答えは、 10 から 問題 １ の答えを引いて それに １ 足せばよいのです。
したがって、 答えは、 平均で 8.25 枚 です。
シミュレーション ：
赤玉が ｎ 個、 白玉が ｍ 個 入っている袋があります。
その中から 玉 を 無作為に １ 個ずつ取り出していきます。
すべての赤玉が出たときの取り出した玉の数を点数として得ます。
得点の期待値はいくらでしょうか？