（１） 空間内の曲線を表す　２変数 ＞ １変数 の ２階層合成関数

　　　　

　 変数 は、 時間経過と共に連続的に変化するイメージです。そうして、 永遠の過去から永遠の未来へと時が瞬間的に経過したときの の軌跡がこの曲線を表します。

この曲線の接線ベクトルは、 次のようになります。
　　　　

　 この曲線の 平面への正投影は、 　という曲線です。平面へ正投影された曲線の道のりを横軸にとり、 それに対応する空間内の曲線の 座標値を縦軸にとると、 平面内に曲線ができます。 その曲線の傾きは、 次の２通りの方法で求めることができます。
　　　　
　　　　

（２） 空間内の曲面を表す　２変数 ＞ ２変数 の ２階層の合成関数

　　　　

　 変数 は、 変数 が一定のときに、 時の経過と共に連続的に変化するイメージです。 そうして、 永遠の過去から永遠の未来へと瞬間的に時が経過したら、 今度は、 変数 が微小に変化して固定し、 変数 が連続的に変化して、 永遠の過去から永遠の未来へと瞬間的に時が経過し、 ・ ・ ・ ・　と繰り返すと共に、 パラレルワールドにおいては、 変数 は、 変数 が一定のときに、 時の経過と共に連続的に変化します。 そうして、 永遠の過去から永遠の未来へと瞬間的に時が経過したら、 今度は、 変数 が微小に変化して固定し、 変数 が連続的に変化して、 永遠の過去から永遠の未来へと瞬間的に時が経過し、 ・ ・ ・ ・　と繰り返していって、 幾重にも時が瞬間的に経過したときの の軌跡がこの曲面を表します。

空間から 空間に座標変換すると、 次のようになります。
　　　　

　 空間では、 この曲面の 平面への正投影は全平面ではありません。 次のような十進BASIC のプログラムを実行すると、 この曲面の 平面への正投影が描かれます。


　　　　

　 一方、 空間へ座標変換すると、 この曲面の 平面への正投影は全平面になります。
空間へ座標変換されたこの曲面の傾きは、 次のベクトルで表されます。
　　　　
この傾きの求め方には２通りあります。 １つは、 から求めるものです。
　　　　
もう１つは、 合成関数から求めるものです。