数学で習う座標変換は、現実を対象とする物理学からすると「座標変換まがい」のものです。現実の座標変換は、「自分の座標系から相手の座標系への変換」ではなく、「自分の座標系における、自分の座標系の基底を用いる表現方法から相手の座標系の基底を用いる表現方法への変換」です。座標変換したからといって、自分の座標系であることに変わりはありません。と言うと「何をたわけたこと言っているのか！」と思われるかもしれませんが、これからその証拠をお見せします。相手の座標系が反時計回りに θ ラジアン 回転している例で示します。

自分の座標系の基底：　
相手の座標系の基底：　
基底変換テンソルの表現行列：
　　　
座標変換テンソルの表現行列：
　　　



自分の座標系における点Ｐの位置ベクトル：
　　　
相手の座標系における点Ｐの位置ベクトルだと誤解されているベクトル：
　　　
基底変換式：
　　　
　　　この式は次の２つの式を表しています。
　　　　　　
　　　　　　
座標変換式：
　　　
　　　この式は次の２つの式を表しています。
　　　　　　
　　　　　　
　　　例えば、
　　　　　　

相手の座標系における点Ｐの位置ベクトルだと誤解されているベクトルは、次のように変形されます。
　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　

以上の式達は次のように書くこともできます。
　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　

　ということで、「相手の座標系における点Ｐの位置ベクトルだと誤解されているベクトル」は、自分の座標系における点Ｐの位置ベクトルに他ならないということが分かりました。

　物理学において、相手の座標系は、相手にとっては無限大の空間ですが、自分にとっては無限小の点でしかありません。ですから、自分の座標系と相手の座標系とは変換できるものではありません。本当の物理学的座標変換は存在しないのです。特殊相対性理論の拠り所となっているローレンツ座標変換も「座標変換まがい」のものでしかないのです。

　結局、物理学における座標変換とは、同一の物を、自分から見ればこういう風に見えるものを、相手からすればああゆうふうに見える、と対応させているだけであって、共通の時空間は存在しないのですから、その見え方を比較しても意味がないのに、それにこだわっているだけのことなのです。