【 問 題 】

　Ａ君、Ｂ君、Ｃさんがいます。封筒が７枚あります。封筒の中にはそれぞれ　￥1000　　￥2000　　￥4000　　￥8000　　￥16000　　￥32000　　￥64000　入っています。お金はすべてＣさんのものです。Ｃさんだけはどの封筒にいくらのお金が入っているのかを知っています。そして、Ｃさんはこの７枚の封筒の中から、Ａ君に ￥4000 が入った封筒を渡し、Ｂ君に ￥8000 が入った封筒を渡します。それは、Ｃさんが事前にサイコロを振って３の目が出ていたためです。もし１の目が出ていたときは、ＣさんはＡ君に ￥1000 が入った封筒を渡し、Ｂ君に ￥2000 が入った封筒を渡すことになります。
　そこでＣさんは２人にこう言います。「 自分が手にしている封筒の中身をこっそりと見てもいいですが、絶対に自分が手にしている金額を言ってはいけません。あなた方の選んだ封筒の中に入っている金額は １：２ の比にしています。封筒の中のお金をさし上げますが、２人とも交換を希望する場合には封筒を交換してから中のお金を手にしてください。一方だけが交換を希望する場合は、交換は無しです。」

Ａ君の考え：
　今私が手にしているのは ￥4000 である。もし、Ｂ君と封筒を交換したならば、今よりも増える金額の期待値は ￥1000 である。よって、Ｂ君と封筒を交換しよう。

Ｂ君の考え：
　今私が手にしているのは ￥8000 である。もし、Ａ君と封筒を交換したならば、今よりも増える金額の期待値は ￥2000 である。よって、Ａ君と封筒を交換しよう。

　というわけで、２人は封筒を交換することになりました。その結果、Ａ君は最初より ￥4000 多くなって喜び、Ｂ君は最初より ￥4000 少なくなって悔しがりました。

　以上の話、なんか怪しくないですか？ 結果的に一方が得をして一方が損をしましたが、そこはおかしくないのですが、２人とも交換により獲得金額が増える期待が持てるところがおかしいと思いませんか？ 期待値においても、一方が得をするなら他方は損をしなければならないのではないでしょうか？

【 解 答 】

　この問題は「２つの封筒のパラドックス」とほぼ同じです。

　Ｃさんが無作為に（￥1000, ￥2000 ），（￥2000, ￥4000 ），（￥4000, ￥8000 ），（￥8000, ￥16000 ），（￥16000, ￥32000 ），（￥32000, ￥64000 ）の６種類の中から選んで、さらに無作為に２つの封筒をＡ君とＢ君に振り分けた場合について考えてみます。
　まず、Ａ君が自分の封筒の中身を知る前の時点での、Ａ君が交換によって増やせる金額の期待値を求めてみます。

　Ａ君が最初手にする金額が ￥1000 のとき、交換によって増える金額は ￥1000 。
　Ａ君が最初手にする金額が ￥2000 のとき、交換によって増える金額の期待値は ￥500 。
　Ａ君が最初手にする金額が ￥4000 のとき、交換によって増える金額の期待値は ￥1000 。
　Ａ君が最初手にする金額が ￥8000 のとき、交換によって増える金額の期待値は ￥2000 。
　Ａ君が最初手にする金額が ￥16000 のとき、交換によって増える金額の期待値は ￥4000 。
　Ａ君が最初手にする金額が ￥32000 のとき、交換によって増える金額の期待値は ￥8000 。
　Ａ君が最初手にする金額が ￥64000 のとき、交換によって増える金額は −￥32000 。

したがって、交換することによって手持ちの金額が増加する期待値は、次の式で与えられます。
　　　1/12 × ￥1000 ＋ 2/12 × ￥500 ＋ 2/12 × ￥1000 ＋ 2/12 × ￥2000 ＋ 2/12 × ￥4000 ＋ 2/12 × ￥8000 − 1/12 × ￥32000
　　　　　　　　　　＝→　1/121 ×（ ￥1000 ＋ ￥1000 ＋ ￥2000 ＋ ￥4000 ＋ ￥8000 ＋ ￥16000 − ￥32000 ）
　　　　　　　　　　＝→　￥0

　というわけで、Ａ君が自分の封筒の中身を知る前の時点では、Ａ君は封筒を交換しても交換しなくても獲得できる金額の期待値は変わらないことが分かりました。

　このことは、次のシミュレーションを見ても明らかです。


10万回試行：　　



プログラムの内容：



　では、Ａ君とＢ君が自分の封筒の中の金額を知った後の期待値について考えてみましょう。
　Ａ君やＢ君がはじき出した期待値は幻の「心理学的期待値」で、２人が封筒を交換する理由となります。しかし、２人とも冷静に考えれば、「数学的期待値」は交換してもしなくても今手にしている金額と変わらないので、交換してもしなくてもどちらでもいいことが分かるのですが・・・。人間は面白い行動をするものです。

　しかし、実際はＡ君やＢ君の間で封筒の交換は行われません。人間は基本的には自分のことしか考えることのできない生物に属するからです。その理由については、次の論文をご覧ください。

　　　大学生のための数学 ＞ 論理学 ＞ ７つの封筒のパラドックス（ ゲーム理論編 ）