Ｃさんは ￥2000 が入った封筒 と ￥4000 が入った封筒 と ￥8000 が入った封筒 を手に持っています。ただし、どの封筒にそれぞれの金額が入っているのかは知りません。Ｃさんは以上のことをＡ君に伝え、その中からＡ君に１枚の封筒を選んでもらって渡します。ＣさんはＡ君に彼が選んだ封筒の中のお金を見せるように言って、Ａ君がそうしたところ、￥4000 入っていました。そこでＣさんはＡ君に言います。「 今あなたが手にしているお金をさしあげようと思うのですが、それを拒否して私が持っている２枚の封筒のどれか１つを選んで、その中の金額をさしあげてもいいですよ。」 そこで、Ａ君は ￥4000 をあきらめた場合に獲得できる金額の期待値を計算しました。
　　　　￥8000 × 1/2　＋　￥2000 × 1/2　＝→　￥5000
　￥5000 ＞ ￥4000 ですから、貪欲なＡ君は ￥4000 をあきらめてチャレンジすることにしたのです。ここまでは、当たり前のことで、問題はありません。 では、ここで問題です。

【 問 題 １ 】

　Ｃさんは ￥2000 が入った封筒 と ￥4000 が入った封筒 と ￥8000 が入った封筒 を手に持っています。ただし、どの封筒にそれぞれの金額が入っているのかは知りません。Ｃさんは以上のことをＡ君に伝え、その中からＡ君に２枚の封筒を選んでもらって渡します。Ｃさんは選ばれなかった封筒の中の金額をこっそりと見ました。すると ￥2000 入っていました。Ｃさんはその封筒を机の上に置いてからＡ君に言います。「 今あなたが手にしている封筒のうち１枚を私に渡してください。」Ａ君がそのとおりにすると、ＣさんはＡ君に言いました。「 私たちが手にしている封筒の中の金額は１：２の比になっています。あなたが手にしている封筒の中のお金をさしあげようと思うのですが、今なら私が手にしている封筒と交換してあげてもいいですよ。どうされますか？」

　そこで、Ａ君次のように考えました。
　僕が手にしている ￥x をあきらめてＣ君の封筒と交換した場合に獲得できる金額の期待値は次のようになる。
　　　　￥2x × 1/2　＋　￥x/2 × 1/2　＝→　￥x×5/4
￥x×5/4 ＞ ￥x なので、Ｃさんの封筒と交換するべきだ。


　また、Ａ君は次のようにも考えました。
　さっきは交換する場合で考えたけれど、今度は交換するかしないか半々の場合で考えよう。
　僕が ￥x で、Ｃさんが ￥2x の場合：　僕がもらえる金額の期待値は ￥x×3/2
　僕が ￥x で、Ｃさんが ￥x/2 の場合：　僕がもらえる金額の期待値は ￥x×3/4
　これらはそれぞれ 1/2 の確率で生じるのだから、僕がもらえる金額の期待値は次のようになる。
　　　　￥x×3/2 × 1/2　＋　￥x×3/4 × 1/2　＝→　￥x×9/8
　もし僕が交換をしなかったら、僕がもらえる金額は ￥x で期待値よりも少なくなってしまう。したがって、Ｃさんの封筒と交換するべきだ。


　というわけで、貪欲なＡ君はＣさんの封筒と交換することにしたのですが、おかしくないですか？

【 解 答 】

　おかしいです。Ａ君の考え方は間違っています。
　Ａ君が手にしている金額を ￥x とすると、Ｃさんが手にしている金額は ￥2x または ￥x/2 なのですが、今から未来にかけて、Ａ君が住んでいる世界は、Ｃさんが手にしている金額が ￥2x の世界か、Ｃさんが手にしている金額が ￥x/2 の世界か、そのどちらかの１つであって、その世界をＡ君は移動することができないのです。２つの世界をＡ君が自由に移動することができるのであれば、Ａ君の考え方は正しいのですが、そうではないのです。

【 解 説 】

　この問題は、冒頭の例で言うと、Ａ君がＣさんが持っている２枚の封筒のどれか１つを選んでしまった後に、期待値を考えているということになります。期待値を考えるのは選択する前です。選択した後に期待値を考えてもしかたありません。例えば、1/10 の確率で100円が当たるくじをひく前の期待値は 10円 ですが、くじをひいた後は 10円 ではなく、100円 または 0円 のどちらかしかない現実です。
　条件付き確率を思い出してください。ある情報が入った時点で確率が変わりましたね。期待値も、ある情報が入った時点で変化しますし、その上、選択が終了するとそれに関する期待値は消滅するのです。

　　※ 参照：
　　　　 確率 ＞ ２つの封筒のパラドックスを解く（ 期待値のパラドックス ）
　　　　 ばいおりんの日常的物理学文集 ＞ 哲学と物理学 ＞ パラレルワールドも期待するという落とし穴

【 問 題 ２ 】

　太郎君は、封筒Ａの中に ￥4000 が入っていることだけを知っています。
　花子さんは何も知りません。
　パーティーの主催者は、以上のことを知っているし、封筒Ｂの中に ￥8000 が入っていて封筒Ｃの中に ￥2000 が入っていることも知っています。

　主催者は、３つの封筒を２人に見せてこう言います。「この３つの封筒の中に入っている金額は１：２：４の比になっていますが、必ずしもＡＢＣの順番であるとは限りません。」そして、主催者は、太郎君に封筒Ａを、花子さんに封筒Ｂを渡します。それから主催者はこう言います。「あなた方が手にしている封筒の中の金額は１：２の比になっています。その封筒の中のお金をさしあげますが、３分間以内なら交換してもいいですよ。」

　そこで、太郎君は ￥4000 をあきらめた場合に獲得できる金額の期待値を計算しました。
　　　　￥8000 × 1/2　＋　￥2000 × 1/2　＝→　￥5000
そして、￥5000 ＞ ￥4000 だから花子さんの封筒Ｂと交換すべきだ、と考えたのです。

　一方、花子さんこう考えました。
　交換するかしないか半々の場合を考えよう。
　私が持っている金額を ￥x としよう。
　太郎君が ￥2x の場合：　私がもらえる金額の期待値は ￥x×3/2
　太郎君が ￥x/2 の場合：　私がもらえる金額の期待値は ￥x×3/4
　これらはそれぞれ 1/2 の確率で生じるのだから、私がもらえる金額の期待値は次のようになる。
　　　　￥x×3/2 × 1/2　＋　￥x×3/4 × 1/2　＝→　￥x×9/8
　もし私が交換をしなかったら、私がもらえる金額は ￥x で期待値よりも少なくなってしまう。したがって、太郎君の封筒Ａと交換するべきだ。


　こうして、貪欲な２人は封筒をそれぞれ交換することにしたのですが、おかしくないですか？　もちろん主催者の立場で考えると、２人の行動は滑稽ですが、太郎君や花子さんの立場で考えてください。

【 解 答 】

　おかしいです。２人とも考え方が間違っています。花子さんの考え方を例に説明します。
　太郎君が手にしている金額は ￥2x または ￥x/2 なのですが、今から未来にかけて、２人が住んでいる世界は、太郎君が手にしている金額が ￥2x の世界か、太郎君が手にしている金額が ￥x/2 の世界か、そのどちらかの１つであって、その世界を２人が移動することができないのです。２つの世界を２人が自由に移動することができるのであれば、２人の考え方は正しいのですが、そうではないのです。