質量の次元： [ M ]　　　空間の次元： [ L ]　　　時間の次元： [ T ]

【 問 題 １ 】

　音速 が 圧力の平方根に比例 し 密度の平方根に反比例 することを、次元解析をすることによって証明せよ。

　【 解 答 】

音速の次元： [ L T⁻¹ ]
圧力の次元： [ M L⁻¹ T⁻² ]　　　＊ 参考： Ｆ (N) ＝ ｍ(kg)ａ(ms⁻²)
密度の次元： [ M L⁻³ ]

(音速) ＝ k × (圧力) ^a × (密度) ^b　と置く。
右辺の次元は、 [ M^a L^−a T^−2a ] × [ M^b L^−3b ]　＝→　[ M^a＋b L^−a−3b T^−2a ]　になる。
両辺の次元を比較すると、次の３つの式が成り立つことが分かる。
　　0 ＝ a＋b
　　1 ＝ −a−3b
　　−1 ＝ −2a
この連立方程式を解くと、
　　a ＝ 1/2　　b ＝ −1/2
よって、　(音速)　＝　k × (圧力) ^1/2 × (密度)^−1/2　＝→　k × (圧力) ^1/2 ÷ (密度) ^1/2
この式より、音速が圧力の平方根に比例し密度の平方根に反比例することが分かる。

【 問 題 ２ 】

　弦を伝わる振動の速さは、線密度を ρ、張力を s で表すと、ρ ^xs ^y という形で表される。
次元解析をすることによって x と y の値を求めよ。

　【 解 答 】

振動の速さの次元： [ L T⁻¹ ]
線密度の次元 ：[ M L⁻¹ ]
張力の次元： [ M L T⁻² ]

[ L T⁻¹ ]　＝　[ M L⁻¹ ] ^x × [ M L T⁻² ] ^y　になる。
したがって、　[ L T⁻¹ ]　＝　[ M ^x L^−x ] × [ M ^y L ^y T^−2y ]
　　　　　　　　　　　＝　[ M ^x＋y L ^y−x T^−2y ]
　　0 ＝ x ＋ y
　　1 ＝ y−x
　　−1 ＝ −2y
この連立方程式を解くと、答えは次のようになる。
　　x ＝ −1/2　　y ＝ 1/2
よって、　(弦を伝わる振動の速さ)　＝　root { (張力) ÷ (線密度) }
　この式より、弦を伝わる振動の速さは張力の平方根に比例し線密度の平方根に反比例し、比例定数は１であることが分かる。

【 問 題 ３ 】

　単振り子の周期 が 重りの質量には関係せず 糸の長さの平方根に比例 し 重力加速度の平方根に反比例 することを、次元解析をすることによって証明せよ。

　【 解 答 】

単振り子の周期の次元： [ T ]
重りの質量の次元 ：[ M ]
重力加速度の次元： [ L T⁻² ]
糸の長さの次元： [ L ]

(単振り子の周期) ＝ k × (重りの質量) ^a × (重力加速度) ^b × (糸の長さ) ^c　と置く。
右辺の次元は、 [ M^a ] × [ L^b T^−2b ] × [ L^c ]　＝→　[ M^a L^b＋c T^−2b ]　になる。
両辺の次元を比較すると、次の３つの式が成り立つことが分かる。
　　0 ＝ a
　　0 ＝ b＋c
　　1 ＝ −2b
この連立方程式を解くと、
　　a ＝ 0　　b ＝ −1/2　　c ＝ 1/2
よって、　(単振り子の周期)　＝　k × (重りの質量) ⁰ × (重力加速度)^−1/2 × (糸の長さ) ^1/2
　　　　　　　　　　　　　＝→　k × (糸の長さ) ^1/2 ÷ (重力加速度) ^1/2
　この式より、単振り子の周期が重りの質量には関係せず糸の長さの平方根に比例し重力加速度の平方根に反比例することが分かる。