解析学 へ戻る【 問 題 １ 】
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長さ１の直線分上に無作為に２点をとるとき、２点間の距離の期待値（ 平均 ）を求めよ。
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直線分に 0 から 1 の目盛りを付け、２点の位置を目盛りで表すことにする。
位置を表す目盛りの大きい方の点を \(x\) 座標の目盛りを用いて表し、位置を表す目盛りの小さい方の点を \(y\) 座標の目盛りを用いて表すことにする。
点Ｐ\( \left(\ x,\ y\ \right) \) の位置にスカラー値 \(x-y\) を与え、その関数を \(f(x,y)=x-y\) とする。
\( 0\le x\le1,\ \ 0\le y\le x \ \) の範囲において \(f(x,y)\) を重積分した値 を \( 0\le x\le1\ \) の範囲において \(f(x)=x\) を積分した値 で割れば、題意を満たす期待値になる。
\( \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{x}\left(x-y\right)\ dy\right)\ dx\ \) ÷ \( \int_{0}^{1}x\ dx \)
＝→ \( \int_{0}^{1}\left[\ xy-\frac{1}{\ 2\ }y^{2}\ \right]_0^{x}dx\ \) ÷ \(\left[\ \frac{1}{\ 2\ }x^{2}\ \right]_{0}^{1} \)
＝→ \( \int_{0}^{1}\frac{1}{\ 2\ }x^{2}dx\ \) ÷ \( \frac{1}{\ 2\ } \)
＝→ \( \left[\ \frac{1}{\ 6\ }x^{3}\ \right]_{0}^{1}\ \) ÷ \( \frac{1}{\ 2\ } \)
＝→\(\ \ \frac{1}{\ 6\ } \) ÷ \( \frac{1}{\ 2\ } \)
＝→\(\ \ \large\frac{1}{\ 3\ } \)
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長さ１の直線分ＡとＢがあり、１端で垂直に交わっている。直線分Ａ上に無作為に１点をとり、直線分Ｂ上に無作為に１点をとる。この２点の交点からの距離の２乗の和が１以下であった場合に、２つの点の距離の期待値（ 平均を ）求めよ。
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２つの直線分に交点を 0 として 0 から 1 の目盛りを付け、直線分Ａ上の点の位置を \(x\) 座標の目盛りを用いて表し、直線分Ａ上の点の位置を \(y\) 座標の目盛りを用いて表すことにする。
点Ｐ\( \left(\ x,\ y\ \right) \) の位置にスカラー値 \( \sqrt{x^{2}+y^{2}}\ \) を与え、その関数を \(f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}\ }\) とする。
\( 0\le x\le\sqrt{1-y^{2}},\ \ 0\le y\le1 \ \) の範囲において \(f(x,y)\) を重積分した値 を 半径１の円の面積の４分の１の値 で割れば、題意を満たす期待値になる。
\( \int_{0}^{1}\int_{0}^{\small\sqrt{1-y^{2}}}\small\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ dx\ dy\ \) ÷ \( \frac{\pi}{\ 4\ } \)
\( x=r\cos\theta,\ \ y=r\sin\theta\ \) と置くと、
\( dy\ dx=r\ dr\ d\theta , \) \( 0\le r\le1,\ \ 0\le\theta\le\large\frac{\pi}{\ 2\ } \ \) となるので、
＝→ \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}r^{2}drd\theta\ \) ÷ \( \frac{\pi}{\ 4\ } \)
＝→ \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\ \frac{1}{\ 3\ }r^{3}\ \right]_{0}^{1}\ d\theta\ \) ÷ \( \frac{\pi}{\ 4\ } \)
＝→ \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\ 3\ }\ d\theta\ \) ÷ \( \frac{\pi}{\ 4\ } \)
＝→ \( \left[\ \frac{1}{\ 3\ }\theta\ \right]_{0}^{\frac{\pi}{\ 2\ }} \) ÷ \( \frac{\pi}{\ 4\ } \)
＝→\(\ \ \frac{\pi}{\ 6\ } \) ÷ \( \frac{\pi}{\ 4\ } \)
＝→\(\ \ \large\frac{2}{\ 3\ } \)