確率 へ戻る（ 問題１）
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100人に ０ 〜 99 の番号札100枚の中から任意に選んで１枚ずつ配ります。 このとき10の番号札を持っている人が存在する確率はいくらでしょうか？
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正解は、 Ａさんです。 誰かが 100分の１ の確率で当選した瞬間に、 必ずその他の人の当選期待値が 100分の１ から０になってしまうような状況に関しては、 Ａさんの考え方が正しいのです。
この問題は独立事象ではないケースです。 Ａさんが用いた統計学的技法は、 「 Ｘ または Ｙ または Ｚ の起こる確率 ＝ Ｘ の起こる確率 ＋ Ｙ の起こる確率 ＋ Ｚ の起こる確率 」 ということです。
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１人が ０ 〜 99 の番号札の中から任意に１枚を引いてまた元に戻し、 次の人がまた同じことをします。 100人の人が行った時、 10の番号札を引いた人が存在する確率はいくらでしょうか？
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正解は、 Ｂさんです。 誰かが 100分の１ の確率で当選した場合でも、 その他の人の当選期待値がその影響を全く受けないような状況に関しては、 Ｂさんの考え方が正しいのです。
この問題は独立事象のケースです。 Ｂさんが用いた統計学的技法は２つです。 「 独立事象においては、 それらが同時に起こる確率は、 １つ１つが起こる確率の積で表される。」 ということと、 「 確率 ＝ １ − 余事象の確率 」 ということです。
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100人の人に ０ 〜 99 の番号札100枚の中からアットランダムに選んで １ 枚ずつ配ります。 再び回収して、 もう一回同じことをします。 このとき、 ２回とも同じ番号だった人が存在する確率はいくらでしょうか？
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正解はＢさんのように思われがちですが、 ２人とも間違っています。 この問題では、 誰かが 100分の１ の確率で当選した瞬間に、 必ずその他の人の当選期待値が 100分の１ から０になってしまうような状況ではありませんので、 Ａさんの考え方が間違っていることは明白です。 またこの問題では、 誰かが 100分の１ の確率で当選した瞬間に、 その他の人の当選期待値が 100分の１ から 99分の１ に上昇しますので、 その影響を全く受けないような状況ではありません。
まず３人のケースで考えてみましょう。 ３人に１〜３の赤色番号札３枚の中から任意に選んで１枚ずつ配ります。 続いて１〜３の黒色番号札３枚の中から任意に選んで１枚ずつ配ります。 このとき、 ２枚の札の番号が同じ人が１人以上存在する確率はいくらでしょうか？
赤色番号札１をもらった人をＡさん、 赤色番号札２をもらった人をＢさん、 赤色番号札３をもらった人をＣさんとします。 青色番号札の配布の場合の数は次のようになります。
青色番号札１ 青色番号札２ 青色番号札３
ケース１ Ａさん Ｂさん Ｃさん
ケース２ Ａさん Ｃさん Ｂさん
ケース３ Ｂさん Ａさん Ｃさん
ケース４ Ｂさん Ｃさん Ａさん
ケース５ Ｃさん Ａさん Ｂさん
ケース６ Ｃさん Ｂさん Ａさん
２枚の札の番号が同じ人が１人以上存在するケースは、 ケース１、 ケース２、 ケース３、 ケース６ の４ケースです。 したがって、 ２枚の札の番号が同じ人が１人以上存在する確率は３分の２です。
このような問題は、 「 席替えをしたときに、 １人でも元の席と同じ席になる確率はいくらですか？」 という問題と同じであり、 その解答は次の式で与えられるとのことです。
が無限大の時は、 次のようになります。
ちなみに、 次のような式が成り立って言いますので、 無限大の人たちが （ 問題３ ） を行うのであれば、 Ｂさんの考え方も正しいことになります。
このような問題と解答を考えた人は1700年ころに活躍したモンモールという人らしいです。 この解答を導くのは容易ではありませんので、 せめて、 次のような十進BASIC のプログラムを組んでシュミレーションしてみましょう。
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ｎ 人のクラスが席替えをします。 無作為に行ったとき、 元の席と同じになる人の数の期待値は？
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ある１人の人について言えば、 元の席と同じになる確率は 1 / ｎ です。 クラスのみんな 「 同様に確からしい 」 ので、 答えは次のようになります。
答え ： （ １人 × 1 / ｎ ）× ｎ ＝→ １人