問題 ：

Ａさん と Ｂ君 の勝負は、 Ａさんが勝つ確率が ａ です。
勝負を重ねて先に ｎ 勝した方が優勝するものとします。
Ｂ君は最初から ｎ−１ 連勝しました。
この時点でＢ君が優勝する確率はいくらでしょうか？

答え ：

（ １−ａ ）（ １ ＋ ａ ＋ ａ ² ＋ ａ ³ ＋ ・ ・ ・ ・ ＋ ａ^ｎ−１ ）
　　　　　　＊ Ｂ君が優勝する方法は、 Ｂ君の ｎ勝０敗、 ｎ勝１敗、 ｎ勝２敗、
　　　　　　　 ・・・・ ｎ勝 ｎ−１ 敗、 の ｎ とおりです。
　　　　　　　 それぞれの確率の総和が求める確率になります。

または、
　　　１−ａ^ｎ
　　　　　　＊ Ｂ君が優勝する事象は、 Ａさんが ｎ 連勝する事象 の余事象です。


したがって、
　　　１−ａ^ｎ　＝　（ １−ａ ）（ １ ＋ ａ ＋ ａ ² ＋ ａ ³ ＋ ・ ・ ・ ・ ＋ ａ ^ｎ−１ ）
よって、
　　　１ ＋ ａ ＋ ａ ² ＋ ａ ³ ＋ ・ ・ ・ ・ ＋ ａ ^ｎ−１　＝　（ １−ａ^ｎ ）／（ １−ａ ）

上の式は、 初項 １ 公比 ａ の数列の ｎ 項までの総和 を表す式です。