１ 〜 ｎ の自然数を、 複数回使用可にして、 無作為に抽出して加えていきます。 その途中で ｎ になる確率はいくらでしょうか？

かなりの難問です。 具体例から考えましょう。　たとえば、ｎ ＝ ６ のとき。
６ を いくつかの自然数の和に分解します。

　　６ ＝　６
　　６ ＝　５ ＋ １
　　６ ＝　４ ＋ ２
　　６ ＝　３ ＋ ３
　　６ ＝　２ ＋ ４
　　６ ＝　１ ＋ ５
　　６ ＝　４ ＋ １ ＋ １
　　６ ＝　３ ＋ ２ ＋ １
　　６ ＝　３ ＋ １ ＋ ２
　　６ ＝　２ ＋ ３ ＋ １
　　６ ＝　２ ＋ １ ＋ ３
　　６ ＝　２ ＋ ２ ＋ ２
　　６ ＝　１ ＋ ４ ＋ １
　　６ ＝　１ ＋ ３ ＋ ２
　　６ ＝　１ ＋ ２ ＋ ３
　　６ ＝　１ ＋ １ ＋ ４
　　６ ＝　３ ＋ １ ＋ １ ＋ １
　　６ ＝　２ ＋ ２ ＋ １ ＋ １
　　６ ＝　２ ＋ １ ＋ ２ ＋ １
　　６ ＝　２ ＋ １ ＋ １ ＋ ２
　　６ ＝　１ ＋ ３ ＋ １ ＋ １
　　６ ＝　１ ＋ ２ ＋ ２ ＋ １
　　６ ＝　１ ＋ ２ ＋ １ ＋ ２
　　６ ＝　１ ＋ １ ＋ ３ ＋ １
　　６ ＝　１ ＋ １ ＋ ２ ＋ ２
　　６ ＝　１ ＋ １ ＋ １ ＋ ３
　　６ ＝　２ ＋ １ ＋ １ ＋ １ ＋ １
　　６ ＝　１ ＋ ２ ＋ １ ＋ １ ＋ １
　　６ ＝　１ ＋ １ ＋ ２ ＋ １ ＋ １
　　６ ＝　２ ＋ １ ＋ １ ＋ ２ ＋ １
　　６ ＝　１ ＋ １ ＋ １ ＋ １ ＋ ２
　　６ ＝　１ ＋ １ ＋ １ ＋ １ ＋ １ ＋ １

　　６を１個に分割する場合の数 ：　１ 通り
　　６を２個に分割する場合の数 ：　 通り
　　６を３個に分割する場合の数 ：　 通り
　　６を４個に分割する場合の数 ：　 通り
　　６を５個に分割する場合の数 ：　 通り
　　６を６個に分割する場合の数 ：　１ 通り


１ 〜 ６ までの数字が１回の抽選で選ばれる確率は、 すべての数字について ６分の１ です。

したがって、 求める答えは次のようになります。
　　　
ここで、 ２項定理より、
　　　　　

よって、 は次のようになります。
　　　　　


　 １ 〜 ６ の自然数を、 複数回使用可にして、 無作為に抽出して加えていきます。 その途中で ｎ （ ｎ ≦ ６ ） になる確率はいくらでしょうか？

　 まず、 ｎ ＝ ６ の場合は、 上記の答えと同じです。 ｎ ＝ １ の場合は簡単で、 ６分の１ 、 ｎ ＝ ２ の場合は、 ６分の１ と ６分の１ の２乗 を足したものになります。 ｎ ＝ ３ の場合は、 ３が出たときと、 ２回振って (1,2) か (2,1) 、 ３回振って（1,1,1） と出たときなので、 ６分の１ と ６分の１ の２乗 に _２Ｃ_１ をかけたもの と ６分の１ を３乗したもの とを足したものになります。 ｎ ＝ ４ や ｎ ＝ ５ の場合も同様にして考えていくと、 次の答えが見えてきます。
　　　　　


　 途中に何も指示のない すごろく を用います。 第 ｎ マス目にコマが止まる確率はいくらでしょうか？

　 第 ｎ マス目にコマが止まる確率を とします。 すると、 次のような漸化式になります。
　　　　　

　　　　　

　 これを十進BASIC のプログラムで実行すると、 第26マス目くらいまでなら我慢できる時間内に答えを出してくれます。

　 サイコロは１回振った時の出る目の期待値は 3.5 ですが、 ｎ が大きくなると は 3.5 の逆数に近づきます。