密度が一様な 半径 r m 、長さ L m 、質量 m kg の円柱があります。
　傾斜角 θ rad の一定の傾斜をした斜面を初速 0 m/s で円柱が転がり落ちました。滑ることは全くありませんでした。加速度はいくらだったでしょうか？　また、高さが h m 低くなった瞬間の円柱の速さはいくらでしょうか？　重力加速度を g m/s² としてください。 なお、密度が一様な 半径 r m 、長さ L m 、質量 m kg の円柱の慣性モーメントは　1/2×mr²　kgm²　です。

運動方程式：　dv/dt ＝ 1/m × ( mgsinθ − f )　　　・・・ �@　　　（ f は転がり摩擦力 )
回転運動方程式：　dω/dt ＝ 2/mr² × fr　　　・・・ �A

�A より、　dv/rdt ＝ 2f/mr　よって、 f ＝ mdv/2dt　　・・・ �B
�B を �@ に代入して、 dv/dt ＝ gsinθ − dv/2dt　よって、 dv/dt ＝ 2/3 × gsinθ
したがって、　加速度は　2/3 × gsinθ　m/s²　です。

高さが h m 低くなる前と後とでの力学的エネルギー保存法則より、
　　　mgh　＝　1/2×m×v²　＋　1/2×(1/2×mr²)×ω²
よって、　2gh　＝　v²　＋　(1/2×r²)×v²/r²
よって、　4gh　＝　2v²　＋　v²
よって、　v ＝ root(4gh/3)
したがって、高さが h m 低くなった瞬間の円柱の速さは　root(4gh/3)　m/s　です。


（ 別 解 ）

移動慣性量：　m ＋ (1/2×mr²)/r²　＝→　3/2×m
移動運動方程式：　dv/dt　＝　2/3m × mgsinθ　＝→　2/3 × gsinθ
力学的エネルギー保存法則より、
　　　mgh　＝　1/2×(3/2×m)×v²　よって、　v ＝ root(4gh/3)