【 問 題 １ 】

　白色面、黒色面、赤色面、黄色面、緑色面、青色面 の６つからなる立方体があります。観察者に対して、上面、下面、前面、後面、左側面、右側面 が認識されるように立方体を机上に置きます。何通りの置き方があるでしょうか？

　【 解 答 】

　最初に置かれた立方体を上面をそのままにして回転させる方法は、４通り
　最初に置かれた立方体の下面が上面になるようにして置く置き方は、４通り
　最初に置かれた立方体の前面が上面になるようにして置く置き方は、４通り
　最初に置かれた立方体の後面が上面になるようにして置く置き方は、４通り
　最初に置かれた立方体の左側面が上面になるようにして置く置き方は、４通り
　最初に置かれた立方体の右側面が上面になるようにして置く置き方は、４通り
　以上、計 24 通り

【 問 題 ２ 】

　６色の絵具を用いて、真っ白の立方体の６つの面をすべて異なる色で塗りつぶします。１つの面は同じ色です。色の配置は何通りあるでしょうか？

　【 解 答 】

　単純に考えると 6! でよさそうだけど、【 問 題 １ 】で考えたように置き方が違うだけで、本当は同じ配色だったということがあるので、6! を 24 で割って、答えは、 6×5×4×3×2×1 / 24 ＝→ 30 通り です。

　【 別 解 】

　最初に塗る色はどの面を選んでも配置に関係ないから、最初に１面だけある絵具で色を塗り、それを下面にして立方体を置きます。上面の色の塗り方は５通り、その５通りについてそれぞれ、残りの面の塗り方は４色の円順列になります。４色の円順列のすべての場合の数は、4! / 4 ＝→ 6 通り です。したがって、答えは、5×6 ＝→ 30 通り です。

【 問 題 ３ 】

　立方体とは正６面体のことです。正６面体の６個の面は合同な正方形 (正４角形) です。正６面体には頂点が８つあり、辺が 12 個あります。１つの頂点が含まれる面の数は３個です。
　　頂点の数 − 辺の数 ＋ 面の数　＝　8 − 12 ＋ 6　＝　２
　　４ × 面の数　＝　頂点の数 × １つの頂点が含まれる面の数　＝　２ × 辺の数　＝　24
　　合同変換の数　＝　頂点の数 × １つの頂点と接する面の数　＝　８×３　＝　24　＝　６×４
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　※ 参考： 幾何学 ＞ 多面体の定理
　ではここで問題です。立方体があります。無作為に２つの頂点を選んだとき、その距離が１辺の長さに等しくなっている確率を求めなさい。

　【 解 答 】

　最初に選ぶ頂点はどこを選んでも距離に関係ないから、最初に適当に１つ頂点を選びます。それからもう一つの頂点をランダムに選んだとき、２つの頂点の距離が１辺の長さに等しくなっている確率は 3/7 になります。