（１） 正規分布に従う母集団 の 平均の区間推定 （分散が既知の場合）

　平均が μ = ？、分散が σ² = 16 の正規分布に従う母集団があります。そこから n = 9 個の標本を取って標本平均を求めると M = 100 でした。ここからは頭の中だけの作業ですが、その後に標本を返します。これと同じ標本平均値調査を10万回繰り返します。こうして、標本平均を確立変数とする確率分布を調べると、それは、平均が母集団の平均値（μ）に等しくて、分散が母集団の分散（σ²）を標本数（n）で割った値に等しい、正規分布 に従います。このことを「中心極限定理」といいます。（ 参考： 統計学 ＞ 中心極限定理 ）
　この正規分布を標準化すると次のようになります。（ 参考： 統計学 ＞ 正規分布を標準化して検定 ）
　　　
標準正規分布の 95% の臨界値 1.96 です。したがって、信頼度 95% で次の式が成り立ちます。
　　　
　というわけで、 母集団の平均値は 95% の信頼度で 97.39 以上 102.61 以下 の範囲内にあると推定することができます。

　　　　　　　　※ 参照： 統計学 ＞ 平均値の推定（ 分散が既知の場合 ）

（２） 正規分布に従う母集団 の 平均の区間推定 （分散が未知の場合）

　正規分布に従う母集団があります。そこから標本を取って次のデーターを得ました。
　　　　標本数 9　　　標本平均 100　　　標本分散 14
　9個の標本をとってその平均を求めることを１万回くり返して、次の値を確立変数とする確率分布を調べると、それは、自由度8 の t 分布に従います。
　　　
　自由度8 の t 分布の95% の臨界値は 2.31 です。したがって、信頼度 95% で次の式が成り立ちます。
　　　
　というわけで、 母集団の平均値は 95% の信頼度で 96.95 以上 103.05 以下 の範囲内にあると推定することができます。