２次元曲線：y ＝ f (x) 上の点Ａ( a, f (a) ）における曲率半径 R を求めてみましょう。ただし、f "(a) ＜ 0 とします。

　点Ａに接する円の中心を ( X, Y ) とすると、その円の方程式は次の式で表されます。
　　　( x−X )² ＋ ( y−Y )² ＝ R²　　・・・ �@
　　　　　　　※ ただし、f "(a) ＜ 0 より、 a ＞ X　かつ　f (a) ＞ Y
�@ より、
　　　
　　　　　　　
�A の式を次のように置き換えます。
　　　
すると、次の式たちが成り立ちます。
　　　F (a) ＝ f (a)　　・・・ �C
　　　F '(a) ＝ f '(a)　　・・・ �D
　　　F "(a) ＝ f "(a)　　・・・ �E

�@ の両辺を x で微分して、
　　　2 ( x−X ) ＋ 2 ( y−Y ) dy/dx　＝　0
よって、
　　　( x−X ) ＋ ( y−Y ) F '(x)　＝　0　　・・・ �F
�F の両辺を x で微分して、
　　　1 ＋ F '(x)² ＋ ( y−Y ) F "(x)　＝　0　　・・・ �G
�G の式は ( x, y ) ＝ ( a, f (a) ) のとき成り立つので、
　　　1 ＋ F '(a)² ＋ ( f (a)−Y ) F "(a)　＝　0　　・・・ �H
�D と �E を �H に代入すると、
　　　1 ＋ f '(a)² ＋ ( f (a)−Y ) f "(a)　＝　0　　・・・ �I
よって、
　　　
�F の式は ( x, y ) ＝ ( a, f (a) ) のとき成り立つので、
　　　( a−X ) ＋ ( f (a)−Y ) F '(a)　＝　0　　・・・ �K
�D を �K に代入すると、
　　　( a−X ) ＋ ( f (a)−Y ) f '(a)　＝　0　　・・・ �N
�J を �N に代入して、
　　　
�@ の式は ( x, y ) ＝ ( a, f (a) ) のとき成り立つので、
　　　( a−X )² ＋ ( f (a)−Y )² ＝ R²　　・・・ �P
�J と �O を �P に代入して、
　　　
�Q が 求めていた ２次元曲線：y ＝ f (x) 上の点Ａ( a, f (a) ）における曲率半径です。

　例えば、２次元曲線：y ＝ sin x 上の点Ａ( π/2, 1 ）における曲率半径 ( R ) は次のようになります。