（１） 曲面の陰が作る立体の体積

　 曲面 ： に、 上からＸＹ平面に垂直な平行光線を当てた時、 曲面の陰になる部分のＸＹ平面よりも上側の体積は、 次の式で求めることができます。
　　　　

（２） 普通に２重積分を解く

　 曲面 ： に、 上からＸＹ平面に垂直な平行光線を当てた時、 曲面の陰になる部分のＸＹ平面よりも上側と、 ＸＹ平面を次の線たちで囲まれる範囲を垂直に打ちぬく三角柱とが重なる部分の体積を求めてみましょう。
　　　　　　　　

　　　　

　　　　
　　　　

（３） 極座標変換を用いて２重積分を解く　　　( 球の体積 )

　 曲面 ： は、 中心が原点にあって 半径が の球の、 ＸＹ平面より上側の半球の表面を表します。 この曲面に、 上からＸＹ平面に垂直な平行光線を当てた時、 曲面の陰になる部分のＸＹ平面よりも上側の体積、 つまり半球の体積、 を求めてみましょう。

と置くと、

　　　　
　　　　
　　　　
　　　　　
　　　　　
したがって、 球の体積はこの２倍の になります。



　 球の体積は赤道面に平行な断面の面積を積分しても求めることができます。 中心が原点にあって 半径が の半球は、 原点からの距離が のときの赤道面に平行な断面の円の半径は、 次のようになります。
　　　　
したがって、 半球の体積は次のようになります。
　　　　
したがって、 球の体積はこの２倍の になります。