ライプニッツ級数を利用して求める π の近似値：

　グレゴリー級数
　　　

＜ グレゴリー級数の証明 ＞
マクローリン展開より
　　
両辺を ０ 〜 x まで積分すると、グレゴリー級数が得られる。
　　　※ 参照： 解析学 ＞ ライプニッツ級数の証明

　x ＝ 1　を代入すると、ライプニッツ級数になります。
　　　

ライプニッツ級数を利用して求める π の近似値（ 十進BASIC ）

マチンの公式を利用して求める π の近似値：

　次のようなマチンの公式があります。
　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　

　マチンの公式は収束が早いので、π の近似値を求めるのによく利用されます。

マチンの公式を利用して求める π の近似値（ 十進BASIC ）


＜ マチンの公式の証明 ＞

２倍角の公式より
　　　
　　　　　　　　　
　　　
　　　　　　　　　
加法定理より
　　　
　　　　　　　　　
逆関数より
　　　
　　よって、
　　　

オイラー級数を利用して求める π の近似値：

　π の近似値を求めるには、内接正多角形の面積を利用する方法 や オイラー級数を利用する方法 もあります。
ここでは、オイラー級数を利用する方法を紹介します。

オイラー級数：
　　　

オイラー級数を利用して求める π の近似値（ 十進BASIC ）

※ 参照：　数理論 ＞ 平方数の数列の和（ バーゼル問題を含む ）