確率 へ戻る【 問 題 】
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持っているコインを全て投げて、 表の多い方が勝ちというゲームがある。
あいこはなしで、決着がつくまでやる。
Ａ： コインを３個持っている人が２個持っている人と対戦したときの勝率の期待値を求めよ。
Ｂ： コインを６個持っている人が４個持っている人と対戦したときの勝率の期待値を求めよ。
Ａ ＝ Ｂ ＞ 0. 5 で いいだろうか？
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Ａ：
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コインを３個持っている人が、表を０個出す確率 ＝ (1/2)3
コインを３個持っている人が、表を１個出す確率 ＝ 3×(1/2)3
コインを３個持っている人が、表を２個出す確率 ＝ 3×(1/2)3
コインを３個持っている人が、表を３個出す確率 ＝ (1/2)3
コインを２個持っている人が、表を０個出す確率 ＝ (1/2)2
コインを２個持っている人が、表を１個出す確率 ＝ 2×(1/2)2
コインを２個持っている人が、表を２個出す確率 ＝ (1/2)2
コインを３個持っている人が勝つ確率：
3×(1/2)3 × (1/2)2 ＝→ 3/32 ・・・ ①
3×(1/2)3 × { (1/2)2 ＋ 2×(1/2)2 } ＝→ 9/32 ・・・ ②
(1/2)3 ＝→ 4/32 ・・・ ③
①＋②＋③ ＝→ 16/32 ・・・ ◎
コインを３個持っている人が負ける確率：
(1/2)3 × { 2×(1/2)2 ＋ (1/2)2 } ＝→ 3/32 ・・・ ①
3×(1/2)3 × (1/2)2 ＝→ 3/32 ・・・ ②
①＋② ＝→ 6/32 ・・・ ●
◎/(◎＋●) ＝→ 16/22 ≒→ 0.727 ( 答え )
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コインを６個持っている人が、表を０個出す確率 ＝ (1/2)6
コインを６個持っている人が、表を１個出す確率 ＝ 6×(1/2)6
コインを６個持っている人が、表を２個出す確率 ＝ 15×(1/2)6
コインを６個持っている人が、表を３個出す確率 ＝ 20×(1/2)6
コインを６個持っている人が、表を４個出す確率 ＝ 15×(1/2)6
コインを６個持っている人が、表を５個出す確率 ＝ 6×(1/2)6
コインを６個持っている人が、表を６個出す確率 ＝ (1/2)6
コインを４個持っている人が、表を０個出す確率 ＝ (1/2)4
コインを４個持っている人が、表を１個出す確率 ＝ 4×(1/2)4
コインを４個持っている人が、表を２個出す確率 ＝ 6×(1/2)4
コインを４個持っている人が、表を３個出す確率 ＝ 4×(1/2)4
コインを４個持っている人が、表を４個出す確率 ＝ (1/2)4
コインを６個持っている人が勝つ確率：
6×(1/2)6 × (1/2)4 ＝→ 6/1024 ・・・ ①
15×(1/2)6 × { (1/2)4 ＋ 4×(1/2)4 } ＝→ 75/1024 ・・・ ②
20×(1/2)6 × { (1/2)4 ＋ 4×(1/2)4 ＋ 6×(1/2)4 } ＝→ 220/1024 ・・・ ③
15×(1/2)6 × { (1/2)4 ＋ 4×(1/2)4 ＋ 6×(1/2)4 ＋ 4×(1/2)4 } ＝→ 225/1024 ・・・ ④
6×(1/2)6 ＝→ 96/1024 ・・・ ⑤
(1/2)6 ＝→ 16/1024 ・・・ ⑥
①＋②＋③＋④＋⑤＋⑥ ＝→ 638/1024 ・・・ ◎
コインを６個持っている人が負ける確率：
(1/2)6 × { 4×(1/2)4 ＋ 6×(1/2)4 ＋ 4×(1/2)4 ＋ (1/2)4 } ＝→ 15/1024 ・・・ ①
6×(1/2)6 × { 6×(1/2)4 ＋ 4×(1/2)4 ＋ (1/2)4 } ＝→ 66/1024 ・・・ ②
15×(1/2)6 × { 4×(1/2)4 ＋ (1/2)4 } ＝→ 75/1024 ・・・ ③
20×(1/2)6 × (1/2)4 ＝→ 20/1024 ・・・ ④
①＋②＋③＋④ ＝→ 176/1024 ・・・ ●
◎/(◎＋●) ＝→ 638/814 ≒→ 0.784 ( 答え )