マクローリン展開 の 証明
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2012.09.27____
（１） マクローリンの定理
が 
を含む区間で 
回 微分可能であるならば、 この区間内で、 は次のように表されます。 これを 「 マクローリンの定理 」 といいます。
（ 証 明 ）
見やすくするために、 マクローリンの定理を表す式を、 次のように置きます。
次のように表される関数 
を考えます。
すると、 
のときは、 次の式が成り立ちます。
また、 
のときは、 次の式が成り立ちます。
は 
以上 
以下の区間においてで微分可能です。 また、 上記の２つの式が成り立っているので、 以上 以下の区間で次の式を満たす 
が存在します。
さて、 を 
で微分すると、 次のようになります。
したがって、
ここで、 
ですから、 次の式が成り立ちます。
ここで、 ですから、 次のように を置き直すことができます。
すると 
は次のようになります。
これは、 最初に定義した と同じですので、 整合性があります。 したがって、 は次のように表されます。
のとき、 上の式は次のようになります。
でしたので、 上の式は次のようになります。
この式は、 マクローリンの定理を表す式です。
（２） マクローリン展開
が を含む区間で何回でも微分可能であり、 かつ、 次の方程式を満たすならば、
この区間内でマクローリンの定理を表す式 は次のようになります。 これを「 マクローリン展開 」といいます。
（ 証 明 ）
が を含む区間で何回でも微分可能であるならば、 マクローリンの定理を表す式 は次のようになります。
この式は、
のとき、 次のようになります。
この式は、 マクローリン展開です。
（３） マクローリン展開の例
上記のマクローリン展開式を、 別の方法で導きます。
次のように展開できるとします。
x = 0 のとき、 
両辺を x で微分すると、
x = 0 のとき、 
両辺を x で微分すると、
x = 0 のとき、 
両辺を x で微分すると、
x = 0 のとき、 
両辺を x で微分すると、
x = 0 のとき、 
両辺を x で微分すると、
x = 0 のとき、 
両辺を x で微分すると、
x = 0 のとき、 
両辺を x で微分すると、
x = 0 のとき、 
以下同様にして、次の式を得ます。