マクローリン展開 の 証明
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2012.09.27____
(1) マクローリンの定理
が
を含む区間で
回 微分可能であるならば、 この区間内で、
は次のように表されます。 これを 「 マクローリンの定理 」 といいます。

( 証 明 )
見やすくするために、 マクローリンの定理を表す式を、 次のように置きます。

次のように表される関数
を考えます。

すると、
のときは、 次の式が成り立ちます。

また、
のときは、 次の式が成り立ちます。

は
以上
以下の区間においてで微分可能です。 また、 上記の2つの式が成り立っているので、
以上
以下の区間で次の式を満たす
が存在します。

さて、
を
で微分すると、 次のようになります。


したがって、

ここで、
ですから、 次の式が成り立ちます。

ここで、
ですから、 次のように
を置き直すことができます。

すると
は次のようになります。

これは、 最初に定義した
と同じですので、 整合性があります。 したがって、
は次のように表されます。

のとき、 上の式は次のようになります。

でしたので、 上の式は次のようになります。

この式は、 マクローリンの定理を表す式です。
(2) マクローリン展開
が
を含む区間で何回でも微分可能であり、 かつ、 次の方程式を満たすならば、

この区間内でマクローリンの定理を表す式
は次のようになります。 これを「 マクローリン展開 」といいます。

( 証 明 )
が
を含む区間で何回でも微分可能であるならば、 マクローリンの定理を表す式
は次のようになります。

この式は、
のとき、 次のようになります。

この式は、 マクローリン展開です。
(3) マクローリン展開の例

上記のマクローリン展開式を、 別の方法で導きます。
次のように展開できるとします。

x = 0 のとき、 
両辺を x で微分すると、

x = 0 のとき、 
両辺を x で微分すると、

x = 0 のとき、 
両辺を x で微分すると、

x = 0 のとき、 
両辺を x で微分すると、

x = 0 のとき、 
両辺を x で微分すると、

x = 0 のとき、 
両辺を x で微分すると、

x = 0 のとき、 
両辺を x で微分すると、

x = 0 のとき、 
以下同様にして、次の式を得ます。
