【 問 題 】

　中心が原点にある半径１の円の円周上の ０≦Ｘ≦１ かつ ０≦Ｙ≦１ の範囲に点Ｐがあります。スイッチを押すと１秒後に点Ｐを無作為にその範囲内の他の場所に移動させるマシーンがあります。移動後の点ＰのＸ座標値が root (3) / 2 以上ならば当たりとすることを試行Ａとし、移動後の点ＰのＸ座標値が 1/2 以上ならば当たりとすることを試行Ｂとします。最初は試行Ａを行い、その後は、前回が当たりだった場合は試行Ａを行い、前回がはずれだった場合は試行Ｂを行います。第１回目と第２回目とが共に当たりになる確率（A）と 第２回目が当たりになる確率（B）と 第３回目が当たりになる確率（C）と 第４回目が当たりになる確率（D）を求めてください。

　　　　

【 解 答 】

　試行Ａ： 点Ｐの位置ベクトのＸ軸に対する偏角が 30°以下ならば当たりなので、当たる確率は 1/3 。
　試行Ｂ： 点Ｐの位置ベクトのＸ軸に対する偏角が 60°以下ならば当たりなので、当たる確率は 2/3 。

　第１回目も第２回目も当たりになる確率は 1/3 なので、第１回目と第２回目とが共に当たりになる確率（A）は、(1/3)² ＝→ 1/9　である。
　　　　

　第２回目が当たりになる場合は、第１回目も第２回目も当たりになる場合 と 第１回目がはずれで第２回目が当たりになる場合 の２通りである。後者の確率は、( 1 − 1/3 ) × 2/3 ＝→ 4/9 だから、第２回目が当たりになる確率（B）は、1/9 ＋ 4/9 ＝→ 5/9　である。
　　　　

　第３回目が当たりになる場合は、第２回目も第３回目も当たりになる場合 と 第２回目がはずれで第３回目が当たりになる場合 の２通りである。前者の確率は、5/9 × 1/3　＝→　5/27　である。後者の確率は、( 1 − 5/9 ) × 2/3 ＝→ 8/27　である。したがって、第３回目が当たりになる確率（C）は、5/27 ＋ 8/27 ＝→ 13/27　である。
　　　　

　第４回目が当たりになる場合は、第３回目も第４回目も当たりになる場合 と 第３回目がはずれで第４回目が当たりになる場合 の２通りである。前者の確率は、13/27 × 1/3　＝→　13/81　である。後者の確率は、( 1 − 13/27 ) × 2/3 ＝→ 28/81　である。したがって、第３回目が当たりになる確率（D）は、13/81 ＋ 28/81 ＝→ 41/81　である。