【 問 題 】

Ａの容器には 16 % の濃度の食塩水が 400 g 入っている。
Ｂの容器には ４ % の濃度の食塩水が 200 g 入っている。
100 g ずつ取り出して入れ替える。
これを ｎ 回 行った直後の、 Ａの容器の中の食塩水の濃度を Ａ _ｎ % ととし、 Ｂの容器の中の食塩水の濃度を Ｂ _ｎ % とする。
Ａ _ｎ % と Ｂ _ｎ % をそれぞれ ｎ を用いて表せ。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ 1992年 自治医大 入試 より ）

　【 解 答 】

λ ＝ １ のとき、
　　　
　　　大きさが １ の固有ベクトルは
　　　　　　

λ ＝ ４ のとき、
　　　
　　　大きさが １ の固有ベクトルは
　　　　　　





固有空間では、 演算テンソルＱの表現行列は次のように座標変換されている。
　　　

固有空間では、 の演算は次のように表される。
　　　

固有空間における の演算を元のベクトル空間に座標変換すると、 次のように表される。
　　　

したがって、 答えは次のようになる。
　　　

　　　

　【 別 解 】

α ＝ −１ のとき、 は次のようになる。
　　　

のとき、 は次のようになる。
　　　



を に代入して、
　　　

と が答えになる。

　　　　　参考： 大学生のための数学 ＞ 確率 ＞ 確率漸化式の問題