（１）　カードの並べ方の場合の数

　 スペードのカードのみ１３枚を用います。 左から右へ順に１枚ずつ表にしてすべてのカードを並べます。 このとき、 一番左の場所に並べるカードの選び方は １３とおり、 左から２番目の場所に並べるカードの選び方は １２とおり、 右から２番目の場所に並べるカードの選び方は ２とおり、 一番右の場所に並べるカードの選び方は １とおり です。 したがって、 カードの並べ方は全部で　13 ! とおり になります。

　 この 13 ! とおり を、 十進BASIC の漸化式プログラムを用いて求めてみることにしましょう。 もし、 左から右に向かって３枚だけカードを並べるのであれば、 カードの並べ方は、すべてで 13 × 12 × 11 とおり です。 カードを１枚だけ並べるとき、 カードを２枚並べるとき、 カードを３枚並べるとき、 ・ ・ ・ ・ 、 カードを１３枚全部並べるとき、 その並べ方が何とおりあるのかを数列で表すと、 次のようになります。
　　　　　13　　　12 × 13　　　11 × 12 × 13　　　・　・　・　・　・　　　1 × 2 × 3 × ・ ・ ・ × 13

したがって、 この数列の漸化式は次のようになります。
　　　　　
　 したがって、 次のようなプログラムを作って実行してみましょう。 13 ! を計算した値が出力されます。

（２）　４分音符と２分音符で作るリズム
　 １小節の時間を とします。 ４分の 拍子のとき、 ４分音符の時間は 、 ２分音符の長さは になります。
　 ４分の 拍子のとき、 １小節を４分音符と２分音符だけで作るとき、 何とおりのリズムができるでしょうか？
　 のとき、 のとき、 ・ ・ ・ ・　と、 １つずつやっていきますと、 それぞれ次のようになります。
　　　　　１　　２　　３　　５　　８　　１３　　２１　・ ・ ・ ・

この数列をよく観察していると、 次の漸化式が見えてきます。
　　　　　

　 これは、 フィボナッチ数列が１つシフトして、 第 項目の値 が 第 （ ） 項目の値になったものです。 どうして、 このようになるのかを考察してみます。

　 最初に 個の４分音符で作られた１小節から、 隣り合う４分音符２つを２分音符で置き換えていって、 いろんなリズムに変換させていくという手法をとります。 相撲力士の まわし の さがり を思い浮かべてください。

　　　　　

　 ４分の 拍子のときは、 さがり の数が 個のときに相当し、 最初に 個の４分音符で作られた１小節から、 隣り合う４分音符２つを２分音符で置き換えることを、 隣どうしのさがりを結びつけることに相当します。 さがり が １本のとき、 ２本のとき、 ３本のとき、 ・ ・ ・ （ さがり は左側に次第に増やしていきます ） ・ ・ ・ 、 本のとき の、 さがりの結びつけ方が何とおりあるのかを数列にすると、 次のようになります。
　　　　　１　　２　　３　　５　　８　　１３　　２１　　・ ・ ・ ・

　 さがり の一番左と左から２番目を結ばない場合は、 さがり の数がそれより１個少ないときの結びつけ方と同じ方法の数あります。 また、 さがり の一番左と左から２番目を結ぶときは、 さがり の数がそれより２個少ないときの結びつけ方と同じ方法の数あります。 「 さがり の一番左と左から２番目を結ばない場合 」 または 「 さがり の一番左と左から２番目を結ぶ場合 」 は全体集合になりますから、 さがり の数がそれより１個少ないときの結びつけ方の数 と さがり の数がそれより２個少ないときの結びつけ方の数 とを加えたものが、 さがり の結びつけ方が全体で何とおりあるのか （ 場合の数 ） を示していることになります。

　 したがって、 次のようなプログラムを作って実行してみましょう。 上記の数列が出力されます。