確率 へ戻る簡単にできるビンゴゲームを紹介しましょう。 各自が １ 〜 13 の自然数の中から３個の数字を選び、「 主数 」「 副数 」「 助数 」を決めます。 ジョーカーを除いてよくシャッフルしたトランプを伏せて置きます。 ディーラーが上から順にカードをめくっていってその数を読み上げます。「 助数 」が最初にでれば、 それは「 主数 」が２枚出たものとみなします。 ２枚目に「 助数 」が出たときには、「 副数 が１枚出たものとみなします。 それ以降 「 助数 」 が出たとしても効力はありません。 そうして、「 主数 」か「 副数 」かどちらかの数が４つ揃えば上りになります。 ただし、 次に上りになる可能性が生じたときは「 ビンゴ と宣言しなければなりません。 いち早く上がった者が勝ちとなります。
このゲームを100人で行ったときに21枚目のカードをめくる直前までに上りになっている人の数の期待値はいくらでしょうか？ 抽選される数字がランダムなので、「 主数 」を １、「 副数 」を ２、「 助数 を 13（ キング ）とした場合にしぼって考えても、 他のケースと上りになる確率は変わりません。 そこで、 この場合について考えてみることにしましょう。
52枚のカードから20枚のカードを選ぶ組み合わせは次のようになります。
これから、 それぞれのケースについて上りになる場合の数を求めていきます。
＜ 20枚のうちに助数が含まれていないとき ＞
主数も副数も上りになる場合 ：
主数のみが上りになる場合 ：
副数のみが上りになる場合 ：
上りになる場合の数は、
＜ 20枚のうち助数が１枚あるとき ＞
主数も副数も上りになる場合 ：
主数のみが上りになる場合 ：
副数のみが上りになる場合 ：
上りになる場合の数は、
＜ 20枚のうち助数が２枚あるとき ＞
主数も副数も上りになる場合 ：
主数のみが上りになる場合 ：
副数のみが上りになる場合 ：
上りになる場合の数は、
＜ 20枚のうち助数が３枚あるとき ＞
主数も副数も上りになる場合 ：
主数のみが上りになる場合 ：
副数のみが上りになる場合 ：
上りになる場合の数は、
＜ 20枚のうち助数が４枚あるとき ＞
主数も副数も上りになる場合 ：
主数のみが上りになる場合 ：
副数のみが上りになる場合 ：
上りになる場合の数は、
ということで、 結局上がりになる場合の数は次のようになります。
したがって、 このゲームをしたときに21枚目のカードをめくる直前までに上りになっている確率は次のようになります。
よって、 このゲームを100人で行ったときに21枚目のカードをめくる直前までに上りになっている人の数の期待値は 48.5人になります。
この答えで合っているのかどうか、 また、 上がりになるバラツキはどれくらいあるのか、 それらを調べるために、 十進BASIC で次のようなシミュレーションプログラムを作ってみました。