実力の等しい２人が対戦。 ４ゲーム先取した方が勝ち。（ 引き分けは無い ）
10万人の勝者に聞きました。

　

　第１ゲームを取った人の割合 ：　
　第２ゲームを取った人の割合 ：　
　第３ゲームを取った人の割合 ：　
　第４ゲームを取った人の割合 ：　
　第５ゲームを取った人の割合 ：　 　（ 第５ゲームを戦った人の数を母数とする ）
　第６ゲームを取った人の割合 ：　 　（ 第６ゲームを戦った人の数を母数とする ）
　第７ゲームを取った人の割合 ：　 　（ 第７ゲームを戦った人の数を母数とする ）

　０ゲーム落とした人の割合 ：　 ％
　１ゲーム落とした人の割合 ：　 ％
　２ゲーム落とした人の割合 ：　 ％
　３ゲーム落とした人の割合 ：　 ％

　　プログラムの内容 ：

日本プロ野球の日本シリーズは、 先に４勝したチームが優勝します。
簡単化のため、 実力の等しい２チームが対戦することとし、 引き分け試合はないことにします。


（１） 試合数の期待値

　　４試合で終了する （ ４勝０敗の ） 確率 ：
　　　　　
　　　　　　　　　※　４連勝する場合と４連敗する場合の２通りある。

　　５試合で終了する （ ４勝１敗の ） 確率 ：
　　　　　
　　　　　　　　　※　第１ 〜 第４試合のうちから３つの勝ちの組み合わせ

　　６試合で終了する （ ４勝２敗の ） 確率 ：
　　　　　
　　　　　　　　　※　第１ 〜 第５試合のうちから３つの勝ちの組み合わせ

　　７試合で終了する （ ４勝３敗の ） 確率 ：
　　　　　
　　　　　　　　　※　第１ 〜 第６試合のうちから３つの勝ちの組み合わせ

　　

　　試合数の期待値 ：
　　　　　



（２） 日に日に変わる優勝の確率

第１戦で勝った時点で優勝する確率は？　　　→　 を見てください。
第２戦まで連勝した時点で優勝する優勝する確率は？　　　→　 を見てください。

　　３勝３敗で迎えた第７戦 ：
　　　　　1/2

　　３勝２敗で迎えた第６戦以降 ：
　　　　　1/2 ＋ 1/2 * 1/2　＝　3/4

　　３勝１敗で迎えた第５戦以降 ：
　　　　　1/2 ＋ 1/2 * 3/4　＝　7/8

　　３勝０敗で迎えた第４戦以降 ：
　　　　　1/2 ＋ 1/2 * 7/8　＝　15/16

　　２勝２敗で迎えた第５戦以降 ：
　　　　　1/2

　　２勝１敗で迎えた第４戦以降 ：
　　　　　1/2 * 7/8 + 1/2 * 1/2　＝　11/16　　　・ ・ ・　

　　　　　　　　　※　 の 考え方
　　　　　　　　　　　　第４戦に勝つ確率が 1/2 で、 そのときには３勝１敗になる。
　　　　　　　　　　　よって、 第４戦に勝った場合に優勝する確率は 1/2 * 7/8 になる。
　　　　　　　　　　　　第４戦に負ける確率は 1/2 で、 そのときには２勝２敗になる。
　　　　　　　　　　　よって、 第４戦に負けた場合の優勝する確率は 1/2 * 1/2 になる。
　　　　　　　　　　　　1/2 * 7/8 と 1/2 * 1/2 を加えると、 求める答えになる


　　２勝０敗で迎えた第３戦以降 ：
　　　　　1/2 * 15/16 ＋ 1/2 * 11/16　＝　13/16　　　・ ・ ・　

　　１勝１敗で迎えた第３戦以降 ：
　　　　　1/2

　　１勝０敗で迎えた第２戦以降 ：
　　　　　1/2 * 13/16 ＋ 1/2 * 1/2　＝　21/32　　　・ ・ ・　

　　０勝０敗で迎えた第１戦以降
　　　　　1/2



（３） 第２戦の神話はウソ

　　第１戦で勝ったチームが優勝する確率は？
　　　　　（２） より　

　　第２戦で勝ったチームが優勝する確率は？
　　　　　
　 　　　　　　　　　　なぜなら、 第１戦から第４戦までは必須であり、
　　　　　　　　　　それらの勝敗の確率は互いに独立であり、 かつ、 同様に確からしい。

　　第３戦で勝ったチームが優勝する確率は？
　　　　　

　　第４戦で勝ったチームが優勝する確率は？
　　　　　

　　第５戦で勝ったチームが優勝する確率は？

　　　　　第４戦までの成績が３勝１敗だった場合 ：
　　　　　　　　１
　　　　　　　　　　　　※　これは、 の確率で発生する。

　　　　　第４戦までの成績が２勝２敗だった場合：
　　　　　　　　3/4
　　　　　　　　　　　　※　これは、 の確率で発生する。

　　　　　第４戦までの成績が１勝３敗だった場合：
　　　　　　　　１ − 1/4　＝　3/4
　　　　　　　　　　　　※　これは、 の確率で発生する。

　　　　　したがって、 求める答えは、
　　　　　　　　2/7 * 1 ＋ 3/7 * 3/4 ＋ 2/7 * 3/4　＝→　19/28　≒→　0.67857

　　６戦で勝ったチームが優勝する確率は？

　　　　　第５戦までの成績が３勝２敗だった場合：
　　　　　　　　１

　　　　　第５戦までの成績が２勝３敗だった場合：
　　　　　　　　1/2

　　　　　第５戦までの成績が３勝２敗だった場合 と ２勝３敗だった場合 の確率は等しいので、 求める答えは、
　　　　　　　　1/2 * 1 + 1/2 * 1/2　＝　3/4

　　第７戦で勝ったチームが優勝する確率は？
　　　　　１


　 ですから、「 第２戦に勝ったチームは優勝の確率が高くなる。」という神話は捨てましょう。 実際に2014年までの日本シリーズのデーターを見ても、 第１戦に勝利したチームが優勝したのは 63.5% で、 第２戦に勝利したチームが優勝したのは 63.1% です。 第２戦の神話が言いたいことは、 「 最初に２連敗しなければ優勝する確率が低くならなくてすむ。（ ２連敗すると優勝する確率が 18.75 % まで低下します。）」ということであり、 ならば、 第１戦も第２戦と同様に大切なのです。


　※ 参 考 :　第２戦に勝利した時点でそのチームが優勝する確率の求め方

（１） 第２戦に勝利したという条件下で、第１戦も勝利していた確率
　　　　　1/2
（２） 第２戦に勝利したという条件下で、第１戦は負けていた確率
　　　　　1/2
（３） 第１戦も第２戦も勝利したという条件下で、優勝しない確率
　　　　　第３戦から第６戦まで全て負ける確率： (1/2)⁴
　　　　　第３戦から第７戦のうち第３戦のみ勝つ確率： (1/2)⁵
　　　　　第３戦から第７戦のうち第４戦のみ勝つ確率： (1/2)⁵
　　　　　第３戦から第７戦のうち第５戦のみ勝つ確率： (1/2)⁵
　　　　　第３戦から第７戦のうち第７戦のみ勝つ確率： (1/2)⁵
　　　 以上の合計は、0.1875 である。
（４） 第１戦も第２戦も勝利したという条件下で、優勝する確率
　　　　　0.8125 ＝ 13/16
（５） 第１戦は負けて第２戦は勝利したという条件下で、優勝する確率
　　　　　1/2
（６） 求める確率
　　　　　1/2 × 0.8125　＋　1/2 × 1/2　＝→　0.65625

【 問 題 】

実力の等しい２人が対戦。 ３ゲーム先取した方が優勝。（ 引き分けは無い ）
　　（１） 第２ゲームを勝った直後にその人が優勝する確率を求めよ。
　　（２） 第１ゲームを勝った直後にその人が優勝する確率を求めよ。

【 解 答 】

（１）
�@ 第２ゲームを勝ったという条件下で、その人が第１ゲームも勝っていた確率
　　　　1/2
�A 第２ゲームを勝ったという条件下で、その人が第１ゲームは負けていた確率
　　　　1/2
�B 第１ゲームも第２ゲームも勝ったという条件下で、優勝しない確率
　　　　第３ゲームから第５ゲームまで全て負ける確率と同じで (1/2)³
�C 第１ゲームも第２ゲームも勝ったという条件下で、優勝する確率
　　　　7/8
�D 第１ゲームは負けて第２ゲームは勝ったという条件下で、優勝する確率
　　　　1/2
�E 求める確率
　　　　1/2 × 7/8　＋　1/2 × 1/2　＝→　11/16 ＝ 0.6875


（２）
優勝しない確率は、
　　　第２ゲームから第４ゲームまで全て負ける確率： (1/2)³
　　　第２ゲームから第５ゲームまでのうち、第２ゲームのみ勝つ確率： (1/2)⁴
　　　第２ゲームから第５ゲームまでのうち、第３ゲームのみ勝つ確率： (1/2)⁴
　　　第２ゲームから第５ゲームまでのうち、第４ゲームのみ勝つ確率： (1/2)⁴
　　以上の合計より、5/16
求める確率は、
　　　１− 5/16　＝→　11/16 ＝ 0.6875