円に内接する正５角形
　　

∠ＣＡＤ ＝ 36°
∠ＦＤＣ ＝ 36°
∠ＣＢＤ ＝ 36°
∠ＡＣＢ ＝ 36°
∠ＡＯＢ ＝ 72°
∠ＡＣＤ ＝ 72°
∠ＡＤＣ ＝ 72°
∠ＤＦＣ ＝ 72°
∠ＤＣＦ ＝ 72°
よって、△ＡＣＤ と △ ＤＦＣ は相似である。
また、ＦＡ ＝ ＦＤ ＝ ＣＤ
ＡＣ ＝ 1 ， ＣＤ ＝ x　と置く。
ＡＣ：ＣＤ ＝ ＤＦ：ＦＣ より、 1 ： x ＝ x ： 1 −x
よって、 x² ＋ x − 1 ＝ 0　したがって、
　　
cos (72°) ＝ ＣＧ / ＡＣ ＝→ ＣＧ　かつ　ＣＧ ＝ ＣＤ / 2 だから、
　　

　ちなみに、正五角形の重心から頂点までの距離を 1 とすると、一辺の長さは、余弦定理より、次の式の正の平方根になることが分かります。
　　1² ＋ 1² − 2×1×1×cos (72°)
つまり、