は メルセンヌ数 と言われます。 メルセンヌ数は次のように展開することができます。
　　　　
これは、 初項 １ 、公比 ２ の等比数列の総和の公式から導かれます。
　　　　

また、 メルセンヌ数を２進数にしますと、 すべての桁が１になります。

　 メルセンヌ数のうち素数であるものは、 メルセンヌ素数 と言われます。 オイラーは、 メルセンヌ素数を とすると が 完全数 になることを発見しました。 完全数とは、 自分以外の約数の総和が自分に等しい自然数のことです。 彼がどのようにしてこの定理を発見したのか、 考えてみましょう。

　 で表される自然数の約数の総和は、 次の公式を用いて求めることができます。
　　　　

この公式より、 の約数の総和は次のようになります。
　　　　
約数の総和から自分自身を引くと、 次のようになります。
　　　　

以上より、 が完全数になっていることが解りました。


　 以下に メルセンヌ素数を求める十進BASIC のプログラム と 完全数を求める十進BASIC のプログラム を紹介します。

完全数を求める十進BASIC のプログラムソースは、 としさんのブログよりいただきました。
　　　　　　http://okadatoshi.exblog.jp/

このプログラムのアルゴリズムは次のようになっています。

　　　は完全数である。
　　　　　　　　　　　　　　
　　
　　　　　　　　　　　　　　
　　 は　素数か？　（ ３の倍数か？ ）　　素数である。
　　　　　　　　　　　　　　
　　 は完全数である。
　　　　　　　　　　　　　　
　　
　　　　　　　　　　　　　　
　　 は　素数か？　（ ３の倍数か？ ）　　素数ではない。
　　　　　　　　　　　　　　
　　
　　　　　　　　　　　　　　
　　 は　素数か？　（ ３の倍数か？　でなければ５の倍数か？ ・ ・ ・ ）　　素数である。
　　　　　　　　　　　　　　
　　 は完全数である。