スカラー ：　
　 ベクトル ：　

　 　　　　（ ハミルトン演算子 ）


　 勾配 ：
　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 は、 スカラー を ベクトル に変換する演算子である。
　　　　　勾配とは、 ある点における、 微小変位によってスカラー場が最も大きく変化する方向
　　　　を向き、 その微小変位あたりの微小変化量と同じ大きさを持つベクトルである。

　 回転 ：
　　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 は、 ベクトル を ベクトル に変換する演算子である。
　　　　回転とは、ある点における、単位面積あたりの渦の強さを表すベクトルである。





＜ 重力場の位置エネルギー ＞

　　　　スカラー場 ：
　 　　　　　　
　　　　

　 の大きさは だから、 の大きさは である。 したがって、 このスカラー場の勾配は、 位置ベクトルの大きさの２乗の逆数に等しくて、 位置ベクトルとは逆向きであることがわかる。

　 　と置くと、 　となるので、 スカラー場 は ベクトル場 の スカラーポテンシャル である。 スカラー場 は　　つまり　 であり、 ベクトル場 は、 大きさが原点からの距離の２乗の逆数に等しくて、 原点を向いている。 このようなベクトル場の例は、 原点に存在する質量 の物質が産生する重力場である。


　 物理学には、 「 位置エネルギー 」 という物理量があり、 地球上では一様な重力場という条件の下での量であるが、 ポテンシャルエネルギーは、 「 宇宙的位置エネルギー 」 である。 質量 の物質が存在するとき、 重力場を産生している物質に対するその物質のポテンシャルエネルギーは、 スカラーポテンシャルに をかけた値になっている。 ポテンシャルエネルギーは、 物質が重力場を産生している物質から無限に離れているときに０であり、 重力場を産生している物質に近づくにつれ、 負の値が次第に大きくなっていく。