（１） 媒介変数で表される曲面の面積

　で表される曲面があります。
　の範囲における曲面の表面積は、 次の式で与えられます。
　　　　

　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　

（２） ドーナッツ（ トーラス ）の表面積

　 ドーナッツを真半分に切ると、 その片方の切断面は２つの半径 の円になるとします。 すると、 この断面の円の円周の長さは になります。 また、 この切断面の中心からドーナッツの重心までの距離を とします。 すると、 その距離を半径とする円の円周の長さは になります。 するとドーナッツの表面積は次の式で表されます。
　　　　　ドーナッツの表面積 ：　
これは道の面積の応用です。 この式を導いてみましょう。

　 このドーナッツを水に浮かべると、 ちょうど半分が水に浸かった状態で水面に浮きました。 水面を 平面とし、 ドーナッツの重心を通る鉛直方向の直線が 軸を作るものとします。
　 水面に 軸と 軸をとり、 軸 から 軸 に向かって ラジアンの角度で 平面と交わる 軸を含む平面でドーナッツを切断した時、その切断面 （ 平面の第１限象にあるところを思い浮かべてください。） の中心から水面に対して ラジアンの角度だけ 軸の正の方向に回転した絶断面の円周上の点の位置ベクトル は、 次のように表されます。

　　　　

　を求めていきます。