（１） 条件付き確率

　 条件付き確率とは、「 Ａ → Ｂ の２つの時系的事象について、 ２つの事象が共に発生する確率 を Ｂの事象が発生する確率 で割れば、 Ｂの事象が発生したことが公表された時点でのＡの事象が発生していた確率が解る。」という定理です。

（２） ベルイトランの箱の問題

問題 ：
　 上下２つの引き出しの付いた箱が３つあり、 外見は同じです。 箱Ａ には２つの引き出しに黒石が１個ずつ入っています。 箱Ｂ には２つの引き出しに白石が１個ずつ入っています。 箱Ｃ にはどちらか一方の引き出しに黒石が１個、 他方に白石が１個入っています。 この３つの箱から１つを選んで上の引き出しを開けたところ黒石が入っていました。 では、 この箱の下の引き出しの中に黒石が入っている確率はいくらでしょうか？


解答 ：
　 この問題は次のように書き直すことができます。
　　 「　箱Ａ と 箱Ｃ のうちどちらかを選んで上の引き出しを開けたところ黒石でした。
　　　 箱Ａ を選んだ確率はいくらでしょうか？」
ですから、 この問題は　条件付き確率 を用いて解くことができます。



		後出来事
		上黒石	上白石	計
先出来事	箱Ａ選択	1 2	０	1 2
	箱Ｃ選択	1 4	1 4	1 2
	計	3 4	1 4	１


　　　　
　　　　　　　集合Ａ ：　箱Ａを選んだ
　　　　　　　集合Ｂ ：　上の引き出しに黒石が入っていた
　　　　　　　（ 集合Ａ または 集合Ｂ ） の補集合 ：　箱Ｃを選んだ時に上の引き出しに白石


　 条件付き確率より、 ２分の１ を ４分の３ で割って、 ３分の２ が答えになります。 この手の確率のことを、 私は 「 レトロスペクティブ プロバビリティー （ 時系的後ろ向き確率 ）」 と言っています。

（３） 結果より過去の選択確率を求める

　 フランチャイズ ドラッグストア では数多くの日用品が安く売られています。 この街には、「 メンズドラッグ 」という店と「 スーパードラッグ 」という店があって隣立しています。「 メンズドラッグ 」は２日に１回の割合で大安売りをしており、「 スーパードラッグ 」は４日に１回の割合で大安売りをしています。 妻も妹も毎日１回どちらかの店に買い物に行っています。 妻は「 メンズドラッグ 」に行く日と「 スーパードラッグ 」に行く日が半々です。 妹は「 メンズドラッグ 」に行く日が「 スーパードラッグ 」に行く日よりも３倍多いと言います。 妻が買い物に行ったときにお店が大安売りをしている確率は、 次の式より求めることができます。
　　　　　
妹が買い物に行ったときにお店が大安売りをしている確率は、 次の式より求めることができます。
　　　　　
　 でも、 妹に言わせりゃ大安売りしている確率は 16分の10 とのことです。 なぜなら、 毎朝新聞のチラシをみてから大安売りをしている方の店に行くからです。 両方の店とも大安売りをしていない確率は８分の３らしいのです。

　さてここで問題です。 今日、 妻が「 さっき、 ドラッグストアで大安売りの商品を買って得したわ。」と言っています。 妻が今日「 メンズドラッグ 」に行った確率はいくらでしょうか？

（ 解 答 ）

		後出来事
		安売	並売	計
先出来事	メンズ	1 4	1 4	1 2
	スーパー	1 8	3 8	1 2
	計			１



　　　　
　　　　　　　集合Ａ ：　メンズドラッグに行った
　　　　　　　集合Ｂ ：　安売りをしていた
　　　　　　　（ 集合Ａ または 集合Ｂ ） の補集合 ：　スーパードラッグに行ったが安売りなし

時系的前向き確率 ：
　　　　　メンズドラッグに行ったときに安売りをしている確率　＝
　　　　　　　　　　　　　　　
　 　　　　　　　　上記の確率ベン図から、 集合Ａの補集合の部分を黒く塗りつぶして、
　　　　　　　　残った範囲を全体とみなして確率を求めます。

　　　　　スーパードラッグに行ったときに安売りをしている確率　＝
　　　　　　　　　　　　　　　
　 　　　　　　　　上記の確率ベン図から、 集合Ａの部分を黒く塗りつぶして、
　　　　　　　　残った範囲を全体とみなして確率を求めます。

時系的後ろ向き確率 ：
　　　　　この問題の答え　＝
　　　　　　　　　　　　　　　
　 　　　　　　　　上記の確率ベン図から、 集合Ｂの補集合の部分を黒く塗りつぶして、
　　　　　　　　残った範囲を全体とみなして確率を求めます。

（４） 確率ベン図を用いて、 もう １ 問

　 条件付き確率を理解するためには、 確率ベン図 を利用するといいです。 確率ベン図を利用して時系的後ろ向き確率を求めてみましょう。
　 時系的後ろ向き確率とは、 Ａの先行事象の発生に続いてＢの続行事象が発生した時、 Ｂの続行事象が発生したことが先に発表され、 その時点でのＡの先行事象の発生確率はどれだけかを求めるものです。
　 では問題です。 Ｘ と Ｙ の区別のつかない２つの袋があります。 Ｘの袋には赤玉が１ 個と白玉が３個入っており、 Ｙの袋には赤玉が２個と白玉が２個入っています。 今どちらかの袋を選択し、 その中から玉を１ 個取り出したときに赤玉でした。 選んだ袋がＸであった確率はいくらでしょうか？
　 Ｘの袋を選ぶという事象を集合Ａとします。 赤玉が出るという事象を集合Ｂとします。 そうして確率ベン図を描きます。
　　　　　　　　　　
　 上の図から、 集合Ｂの補集合の部分を黒く塗りつぶして、 集合Ｂのみを全体集合とみなします。 すると、 全体の ８分の３ あたりに、 集合Ａが占めるのが ８分の１ で、 集合Ａの補集合が占めるのが ８分の２ になりますから、 赤玉が出たという情報が得られた時点で、 選んだ袋がＸであったという時系的後ろ向き確率は ３分の１ になります。