立方体を用意してください。立方体の重心を通る３つの軸を考えます。それらは向かい合う２面と垂直に交わります。「左右軸 ( x 軸 ) 」「下上軸 ( z 軸 ) 」「後前軸 ( y 軸 ) 」です。これらの軸を中心にして立方体を右ねじ方向に回転させます。ただし、回転途中の経過は無視して回転後前の状態の変化のみに注目します。左右軸 ( x 軸 ) を中心にして90°回転させることを「90°後前下上回転させる」と言うことにします。下上軸 ( z 軸 ) を中心にして90°回転させることを「90°後前左右回転させる」と言うことにします。後前軸 ( y 軸 ) を中心にして90°回転させることを「90°左右下上回転させる」と言うことにします。

　まず、立方体の手前側になっている面に「元後面」と書いてください。「元前面」ではありません。手前側は後前軸 ( y 軸 ) の後ろ側になるからです。次に、立方体を下上軸 ( z 軸 ) を中心に90°後前左右回転させて手前側になった面に「元左面」と書いてください。さらに立方体を90°後前左右回転させて手前側になった面に「元前面」と書いてください。さらに立方体を90°後前左右回転させて手前側になった面に「元右面」と書いてください。さらに、立方体を90°後前左右回転させてください。その次に、立方体を左右軸 ( x 軸 ) を中心に90°後前下上回転させて手前側になった面に「元上面」と書いてください。さらに立方体を180°後前下上回転させて手前側になった面に「元下面」と書いてください。ちなみに、180°後前下上回転とは、前後反転かつ上下反転 のことです。

　手前側に「元後面」と書かれた面があり、上側に「元上面」と書かれた文字があるとき、立方体は「初期姿勢」になっているとします。初期姿勢から90°後前左右回転させると「元左面」が手前側になります。初期姿勢から90°後前下上回転させると「元後面」は下側になります。初期姿勢から90°左右下上回転させると「元後面」は手前側で文字が時計回りに90°平面回転した状態になります。

　初期姿勢から、まず180°後前左右回転させ、次に180°後前下上回転させ、最後に180°左右下上回転させると、初期姿勢に戻ります。これは次のような式で前すことができます。

　　　（ 180°後前回転 ＋ 180°左右回転 ）＋（ 180°後前回転 ＋ 180°下上回転 ）＋（ 180°左右回転 ＋ 180°下上回転 ）
　　　　　　　　　　＝→　360°後前回転 ＋ 360°左右回転 ＋ 360°下上回転
　　　　　　　　　　＝→　0°後前回転 ＋ 0°左右回転 ＋ 0°下上回転

　初期姿勢から、まず180°後前下上回転させ、次に180°左右下上回転させ、最後に180°後前左右回転させると、初期姿勢に戻ります。これは次のような式で前すことができます。

　　　（ 180°後前回転 ＋ 180°下上回転 ）＋（ 180°左右回転 ＋ 180°下上回転 ）＋ （ 180°後前回転 ＋ 180°左右回転 ）
　　　　　　　　　　＝→　360°後前回転 ＋ 360°左右回転 ＋ 360°下上回転
　　　　　　　　　　＝→　0°後前回転 ＋ 0°左右回転 ＋ 0°下上回転

　回転角がすべて180°の場合は、「交換法則」と言いましょうか、操作の順番が異なっても結果は同じになります。しかし、回転角がすべて90°の場合は「交換法則」は成立しません。初期姿勢から、まず90°後前左右回転させ、次に90°後前下上回転させ、最後に90°左右下上回転させると、初期姿勢から90°後前下上回転した状態になりますが、操作の順番を変え、初期姿勢から、まず90°後前下上回転させ、次に90°左右下上回転させ、最後に90°後前左右回転させると、初期姿勢から90°左右下上回転した状態になります。

　回転角がすべて90°の場合、初期姿勢から開始して再び初期姿勢に戻るまでに何回操作を要するかを考えてみましょう。「90°後前左右回転」または「90°後前下上回転」または「90°左右下上回転」のどれか１つだけを繰り返す操作においては、4回になります。以上の３つのうちの２つを選んで交互に繰り返す操作においては、6回になります。以上の３つを１回ずつ順番に繰り返す操作においては、6回または12回になります。

「90°後前下上回転」→「90°後前左右回転」→「90°左右下上回転」→「90°後前下上回転」→ ・・・・
　　　　　（ x 軸中心 → z 軸中心 → y 軸中心 ）　　　　 6回
　　　　　　＊　x 軸上のベクトルに z 軸上のベクトルを外積させると y 軸上のベクトルになる。

「90°後前下上回転」→「90°左右下上回転」→「90°後前左右回転」→「90°後前下上回転」→ ・・・・
　　　　　（ x 軸中心 → y 軸中心 → z 軸中心 ）　　　　12回

「90°後前左右回転」→「90°左右下上回転」→「90°後前下上回転」→ 「90°後前左右回転」→・・・・
　　　　　（ z 軸中心 → y 軸中心 → x 軸中心 ）　　　　 6回

「90°後前左右回転」→「90°後前下上回転」→「90°左右下上回転」→ 「90°後前左右回転」→・・・・
　　　　　（ z 軸中心 → x 軸中心 → y 軸中心 ）　　　　12回

「90°左右下上回転」→「90°後前下上回転」→「90°後前左右回転」→「90°左右下上回転」→ ・・・・
　　　　　（ y 軸中心 → x 軸中心 → z 軸中心 ）　　　　 6回

「90°左右下上回転」→「90°後前左右回転」→「90°後前下上回転」→「90°左右下上回転」→ ・・・・
　　　　　（ y 軸中心 → z 軸中心 → x 軸中心 ）　　　　12回

追伸：
　ある立体を90°回転させると元の形に戻る時、その回転軸を「４重対象軸」といいます。立方体には４重対象軸が７つあります。
　立方体に「元前面」と書くにあたり、立方体を左右軸 ( x 軸 ) を中心に180°後前下上回転させて手前側になった面に書いた場合は、本文で作ったものとは異なる立方体になります。つまり、「元前面」の文字が180°平面回転したものになります。