利得思惑理論
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2012.11.01____

［ 問 題 ］

　 駅前の便利屋さんは、 毎朝未明に山道を歩いて、 山頂近くの山荘に山水を採取して持っていきます。 山荘に行くには、 Ａルート と Ｂルート の２つがあり、 どちらも中腹の道端で山水を採取することができます。 ただしＢルートの山水のほうが比較的良質です。 山荘に行くまでに歩く距離は同じなのですが、 Ａルートはカーブはあるもののずーっと一様でなだらかな登り道になっているのに対して、 Ｂルートは中腹以降アップダウンをくり返す道になっています。 どちらの水を配達してもいいことになっているのですが、 Ａルートの場合は の水を、 Ｂルートの場合は の水を配達することになっています。 それは、 両方で労働の強度がほぼ同じになるようにと、 山荘の主人が配慮してくれたことです。 山荘の主人は、 さらに便利屋さんのことを思って、 毎夕、 山荘の従業員が帰宅するときに、 ゴルフ場で使うカートをどちらかのルートの中腹まで降ろさせ、 翌日に便利屋さんが使えるように準備をしています。 ただし、 どちらのルートに用意されているのかを便利屋さんは聞いてはならないことになっています。 山荘の従業員は、 毎朝、 前の日にカートを降ろした方のルートを通って通勤し、 便利屋さんが使用しなかった場合は、 カートを使用して山荘に戻すことになっています。 また、 山荘の主人はどちらかというとＢルートの山水がほしいと思っているので、 Ｂルートにカートを降ろした時には、 カートにご褒美のバナナとアンパンを用意して、 カートを使用した者が食べてもいいことになっています。 便利屋さんが少しでもラクに山水を配達できる確率を高めるには、 １か月（ 30日 ）のうち何日 Ａルートを通ればいいでしょうか？　ただし、 ラクした度合い （ ラクした度 ） を次のような値で表すことにします。

　　　Ａルートにおいて の水を山荘まで運ぶ ：　
　　　Ｂルートにおいて の水を山荘まで運ぶ ：　
　　　Ａルートにおいて カートに乗って山荘まで行く ：　
　　　Ｂルートにおいて カートに乗って山荘まで行く ：　



［ 解 答 ］

次の４つのケースの 「 ラクした度 」 は次のようになります。
　　　　Ａルートを選択し、 カートがあるとき （ Ａルートにカートが置いてある ） ：　
　　　　Ａルートを選択し、 カートがないとき （ Ｂルートにカートが置いてある ） ：　
　　　　Ｂルートを選択し、 カートがないとき （ Ａルートにカートが置いてある ） ：　
　　　　Ｂルートを選択し、 カートがあるとき （ Ｂルートにカートが置いてある ） ：　


　 山荘の従業員がＡルートにカートを用意する確率を とし、 便利屋さんがＡルートを選択する確率を とします。 すると、 便利屋さんの 「 ラクした度 」 の期待値は、 次の で表されます。
　　　　
　　　　
　　　　

　 　は何をしているのかと申しますと、 便利屋さんがＡルートを選択した場合の 「 ラクした度 」 の期待値 と Ｂルートを選択した場合の 「 ラクした度 」 の期待値 とを求めているのです。 最後に内積をとっているのは、 便利屋さんがＡルートを選択する確率にＡルートを選択した場合の 「 ラクした度 」 の期待値をかけたもの と、 便利屋さんがＢルートを選択する確率にＢルートを選択した場合の 「 ラクした度 」 の期待値をかけたもの との合計をとっているのです。 その値 が全体の期待値になります。

次の図をみてください。

　　　　　

　 の範囲ですから、 の直線は、 灰色で塗られた範囲内に存在することになります。

　 山荘の従業員が必ずＢルートにカートを配置する場合は、 のときです。
のグラフを見てください。 期待値 は次のようになります。
　　　　
　　　　 とは、 いつも 「 ラクした度 」 が の場合です。
　　　　 とは、 いつも 「 ラクした度 」 が の場合です。

　 山荘の従業員が必ずＡルートにカートを配置する場合は、 のときです。
のグラフを見てください。 期待値 は次のようになります。
　　　　
　　　　 とは、 いつも 「 ラクした度 」 が の場合です。
　　　　 とは、 いつも 「 ラクした度 」 が の場合です。

　 また、 のときは、 便利屋さんの選択の結果に関係なく常に 「 ラクした度 」 の期待値が になることもわかります。

　 今回の問題では、 の値が決まっていません。 そこで のときに の範囲で がアットランダムにある値をとったときの 「 ラクした度 」 の期待値を求めてみましょう。 図で、 のとき、 の範囲で が動くと、 の範囲で が動くことになります。 ということは、 のときの 「 ラクした度 」 の期待値は、 と との中間 であるということです。 のとき、 の範囲で が動くと、 の範囲で が動くことになります。 ということは、 のときの 「 ラクした度 」 の期待値は、 と との中間 であるということです。 ということは、 「 ラクした度 」 の期待値は、 となって、 の範囲では のときが最も大きくなります。 そこで、 毎回Ｂルートを選択する場合が最も 「 ラクした度 」 の期待値が大きくて、 そのときの 「 ラクした度 」 の期待値は になると考えますよね。 しかし、 よく考えてみてください。 山荘の従業員だって少しでもラクをしたいのです。 ですから、 「 便利屋さんはどうもＢルートばかり選択しているようだ。」 と気づけば、 彼はカートをＡルートにばかり置くようになります。

　 いよいよ、 この問題の本質に突入して参りました。 この問題は、 単なる期待値を求める問題ではなかったのです。 「 互いの利得の思惑 」 が作用する 「 ゲーム理論 」 の問題だったのです。 利得思惑理論によると、 「 相手が取った選択の確率によって、 自分の選択の結果に関係なく期待値が常に一定になるところの期待値が最も大きい期待値となり、 相手が取る選択の確率がどんなに変化しても、 期待値が変化しないように自分が選択すれば、 その期待値を得ることができる。」 ということです。 したがって、 この場合は、 図でいうと、 次の２つの直線の交点の 座標値が、 最も 「 ラクした度 」 の期待値が大きくなる選択のしかたであり、 座標値がそのときの 「 ラクした度 」 の期待値になります。
　　　　
　 この交点の座標を求めるには、 この連立方程式を解けば良いわけで、 答えは次のようになります。
　　　　
　 したがって、 この問題の答えは、 「 １か月（ 30日 ）のうちの 20日、 Ａルートを通ればいい。」 ということになります。


　 これを現実的に考えてみましょう。 カートを使用しないときは、 便利屋さんにとってはどちらのルートを通っても同じ労働の強度ですが、 山荘の従業員にとってはＢルートを通るほうが労働の強度が強いです。 カートを使用できる時は、 便利屋さんにとっても山荘の従業員にとってもＢルートを通ったほうがご褒美がついているのでうれしいです。 これらを総合的に考えてみると、 便利屋さんはどちらかというとＢルートを選びたいと思うし、 山荘の従業員はどちらを選んでもよさそうですが、 「 便利屋さんはどちらかというとＢルートを選びたいと思ってるだろうから 」 ということで、 Ａルートの方にカートを置く確率が高くなりそうです。 したがって、 便利屋さんもＡルートをやや多めに選択したほうがカートに乗れる確率が高くなるわけです。 利得思惑理論では、 実際に山荘の従業員がどんなカートの置き方をしても、 理論どおりに行動すれば、 「 ラクした度 」 の期待値は変わりません。 ただし、 実際に理論どおりに行動したとしても 「 ラクした度 」 が期待値どおりになるわけではありません。 期待値とは、 あくまでも期待値なのです。
　 さて、 山荘の主人の期待はどちらかというとＢルートの山水なのですが、 便利屋さんが理論どおりに行動すれば、 山荘の主人の期待はずれになってしまいます。 いったいこれはどういう理由なのでしょう。 それは今の私にはわかりません。 でも言えることは、 世の中はもっと多くの利得が絡んでいるはずだから期待値をはじきだすのは容易じゃないってことです。 だから利得だけで行動するのはよしましょうってことです。


　 さて今度は、 次のように条件を変えてみましょう。 ご褒美はつかなくなりますが、 Ｂルートの山水は 持っていけばよくなり、 「 ラクした度 」 が次のように変わります。
　　　Ｂルートにおいて の水を山荘まで運ぶ ：　
　　　Ｂルートにおいて カートに乗って山荘まで行く ：　

すると、 次の４つのケースの 「 ラクした度 」 は次のようになります。
　　　　Ａルートを選択し、 カートがあるとき ：　
　　　　Ａルートを選択し、 カートがないとき ：　
　　　　Ｂルートを選択し、 カートがないとき ：　
　　　　Ｂルートを選択し、 カートがあるとき ：　

　
　
　

　
　 この２つの連立方程式を解くと、
　　　　　
　 したがって、 この場合は、 便利屋さんが少しでもラクに山水を配達できる確率を高めるには、 １か月 （ 30日 ） のうちの 15日 Ａルートを通ればいいことになります。 先ほどと比べると、 Ａルートを選択すべき割合は少なくなっています。

　 ではこれを、 山荘の従業員の立場で考えてみましょう。 ただし、 Ｂルートに置いてあるカートを従業員が利用して出勤した場合は、 山荘の主人からご褒美がでることになっています。
次の４つのケースの山荘の従業員にとって 「 トクした度 」 は次のようになります。
　　　便利屋さんがＡルートを選択し、 カートがあるとき
　　　　　　　　山荘の従業員は、 Ａルートを選択し、 カートはありません。　：　
　　　便利屋さんがＡルートを選択し、カートがないとき
　　　　　　　　山荘の従業員は、 Ｂルートを選択し、 カートがあります。　：　
　　　便利屋さんがＢルートを選択し、 カートがないとき
　　　　　　　　山荘の従業員は、 Ａルートを選択し、 カートがあります。　：　
　　　便利屋さんがＢルートを選択し、カートがあるとき
　　　　　　　　山荘の従業員は、 Ｂルートを選択し、 カートはありません。　：　


　 山荘の従業員がＡルートにカートを用意する （ Ａルートを通る ） 確率を とし、 便利屋さんがＡルートを選択する確率を とします。 すると、 山荘の従業員の 「 得した度 」 の期待値は、 次の で表されます。
　
　
　

　
　 この２つの連立方程式を解くと、
　　　　　

　 したがって、 山荘の従業員としては、 ４日に１回の割合でＢルートにカートを置くと 「 トクした度 」 の期待値が最大になります。 ただし、 山荘の従業員が４日に１回の割合でＢルートにカートを置いたとしても、 便利屋さんはＡルートとＢルートを均等に選択してさえおけば、 便利屋さんの 「 ラクした度 」 の期待値が低下するわけではありません。