点 を、 原点を起点とする大きさ のベクトル を軸にして、 右ねじの方向に ラジアン回転させると、 点 になりました。 点 の位置ベクトルを とし、 点の位置ベクトルを とします。

　　　　　

　 は直線を表します。 点 からこの直線に垂線を降ろし、 その交点を点 とします。 すると、 次のようになります。
　　　
したがって、
　　　
　 を直線 を軸にして反時計回りに90度回転してできるベクトルを とすると、 次のようになります。
　　　
　　　　
　　　
　　　

　 これが、 点 を、 原点を起点とする大きさ のベクトル を軸にして、 右ねじの方向に ラジアン回転させて得られるベクトルです。

　 たとえば、 を を軸として右ねじの方向に90度回転させると、
になります。
　　　

　 また、 を 軸を中心にして ラジアン回転させると次のようになります。
　　　


　 十進BASIC で、 ３次元空間で任意の軸を中心に点を回転させたときの座標値を得るプログラムを作ってみました。