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2019.02.23____

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三角形ＡＢＣがあります。 次のようにします。
　　　　頂点Ａの内角の大きさを Ａ
　　　　頂点Ｂの内角の大きさを Ｂ
　　　　頂点Ｃの内角の大きさを Ｃ
　　　　頂点Ａの対辺ＢＣの長さを ａ
　　　　頂点Ｂの対辺ＣＡの長さを ｂ
　　　　頂点Ｃの対辺ＡＢの長さを ｃ
　　　　辺ＢＣ上に点Ｄをとります。 ＢＤ ： ＤＣ　＝　ｒ ： ｑ　とします。
　　　　線分ＡＤ上に点Ｐをとります。

　　　　

（１）　△ＡＢＰ と △ＡＣＰ の面積の比は ｒ ： ｑ であることを示してください。

△ＡＢＤ と △ＡＣＤ の面積の比は ｒ ： ｑ である。 なぜならば、 高さが等しいので。
△ＰＢＤ と △ＰＣＤ の面積の比は ｒ ： ｑ である。 なぜならば、 高さが等しいので。
△ＡＢＰの面積は、 △ＡＢＤの面積から△ＰＢＤの面積を引いたものである。
△ＡＣＰの面積は、 △ＡＣＤの面積から△ＰＣＤの面積を引いたものである。
したがって、△ＡＢＰ と △ＡＣＰ の面積の比は ｒ ： ｑ である。

（２）　三角形ＡＢＣの中に点Ｆを取ります。
　 のとき、 △ＡＢＦ と △ＡＣＦ の面積の比は ｒ ： ｑ であることを示してください。

　 この式より、 Ｆは頂点Ａと辺ＢＣを ｒ ：ｑ の比に内分する点とを結ぶ線分上にあることが判る。
　 したがって、 （１）より、 △ＡＢＦ と △ＡＣＦ の面積の比は ｒ ： ｑ であることが判る。

（３）　三角形の重心を点Ｐとします。
　　　　

　 △ＡＢＰ と △ＰＢＣ と △ＡＣＰ の面積は等しいことを示してください。

重心はそれぞれの頂点と対辺の中点とを結ぶ線分が交わる点である。
（１）より、 △ＡＢＰ と △ＰＢＣ と △ＡＣＰ の面積は等しいことが判る。

（４）　三角形の内心円の中心を点Ｐとします。
　　　　

　 △ＡＢＰ と △ＰＢＣ と △ＡＣＰ の面積の比は、ｃ ： ａ ： ｂ であることを示してください。

すべて高さが等しいので、 面積の比は、ｃ ： ａ ： ｂ である。

（５）　三角形の外心円の中心を点Ｐとします。
　　　　

　 △ＡＢＰ と △ＰＢＣ と △ＡＣＰ の面積の比は、sin（２Ｃ） ： sin（２Ａ） ： sin（２Ｂ） であることを示してください。

円周角の定理より、 ∠ＢＰＣは∠ＢＡＣの２倍である。
外心円の半径をＲとすると、 △ＰＢＣの面積は次のようになる。
　　　　
同様にして、 △ＡＢＰ と △ＡＣＰ の 面積はそれぞれ次のようになる。
　　　　
　 したがって、 △ＡＢＰ と △ＰＢＣ と △ＡＣＰ の面積の比は、 sin（２Ｃ） ： sin（２Ａ） ： sin（２Ｂ） である。

（６）結論